Главная > Математика > Введение в теорию разностных схем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Разностная задача Дирихле в прямоугольнике.

Пусть

— прямоугольник со сторонами и (рис. 12), — его граница. Рассмотрим в задачу Дирихле для уравнения Пуассона:

Построим в сетку с шагами где целые числа. Для этого построим два семейства прямых

Точки пересечения этих прямых с координатами назовем узлами. Если лежит внутри прямоугольника (т. е. то такой узел назовем внутренним. Пусть множество всех внутренних узлов. Общее число внутренних узлов равно

Рис. 12.

Узлы, лежащие на границе прямоугольника (при или кроме четырех узлов назовем граничными (они обозначены на рис. 12 крестиками). Они образуют множество Совокупность всех внутренних и граничных узлов назовем сеткой в прямоугольнике В каждом внутреннем узле может быть построен пятиточечный регулярный шаблон «крест», все которого принадлежат со (т.е. либо либо у к). Поэтому во всех внутренних узлах можно заменить оператор Лапласа разностным оператором

Правую часть уравнения (16) можно аппроксимировать сеточной функцией так, чтобы Считая непрерывной функцией, полагаем

В результате задаче (16) ставим в соответствие разностную задачу Дирихле: найти сеточную функцию определенную на удовлетворяющую во внутренних узлах (на уравнению

и принимающую на границе заданные значения

Отметим, что сетка при называется прямоугольной, а при квадратной сеткой.

Напишем подробное выражение для на квадратной сетке:

Пусть Разрешим уравнение относительно у.

Значение у в центре шаблона есть среднее арифметическое значений у в остальных четырех узлах шаблона. Эта формула является разностным аналогом формулы среднего значения для гармонической функции.

Из (17), (18) видно, что значения в вершинах прямоугольника не используются. Это и определило выбор В случае третьей краевой задачи и схемы (см. п. 9) граница состоит из всех узлов, лежащих на границе прямоугольника, включая его вершины.

Методы численного решения системы — 1) алгебраических уравнений (17) будут рассмотрены отдельно (см. гл. VIII).

Для оценки точности разностной схемы (17), (18), образуем разность и, где у — решение задачи (17), (18), и — решение задачи (16). Подставляя и в (16), получим для 2 задачу

где погрешность аппроксимации уравнения (16) схемой (17).

Так как

Из (8) следует, что

где черта сверху означает, что берутся значения в некоторых средних точках на интервалах соответственно. Обозначая

получаем

Доказательство сходимости схемы (17) сводится к оценке решения задачи (19) через погрешность аппроксимации. Такая оценка будет получена в дальнейшем при помощи принципа максимума для произвольной области и любого числа измерений.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление