Главная > Математика > Введение в теорию разностных схем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Однородные разностные схемы для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами

1. Однородные разностные схемы.

В этом параграфе рассматриваются однородные разностные схемы для уравнения теплопроводности с переменным коэффициентом теплопроводности а также для квазилинейного уравнения с

Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения теплопроводности: ищется непрерывное в прямоугольнике решение уравнения

удовлетворяющее начальному условию

и краевым условиям

Коэффициент ограничен снизу и сверху

где - постоянные, и удовлетворяет условию Липшица по которое мы запишем в виде

где постоянная.

Предполагается, что задача (1) — (3) имеет единственное решение, обладающее нужными по ходу изложения производными. Построим в сетку. Пусть

равномерная сетка с шагом на отрезке

сетка с шагом х на отрезке

сетка в

Для получения однородных консервативных разностных схем воспользуемся интегро-интерполяционным методом. Рассмотрим уравнение (1) при и напишем для него уравнение баланса на отрезке

где

Аппроксимируем входящие в (6) слагаемые

где параметр, выражается через значения функции при (ср. § 1, п. 5).

Подставим эти выражения в (6), заменим и на у, знак аппроксимации знаком равенства. В результате получим

следующую однородную консервативную разностную схему (обозначим ):

Начальное условие и краевые условия первого рода выполняются на сетке точно.

Коэффициент а и правая часть вычисляются при помощи введенных в § 1, п. 3 шаблонных функционалов

по следующим формулам

Шаблонные функционалы заданы на классах кусочно-непрерывных функций Так как неубывающий однородный функционал первой степени и то из условий (4) и (5) следует

Семейство однородных схем (7) определяется заданием и параметра а, от которого зависят устойчивость и точность (по ) схемы (7).

Если то и схема (7) переходит в схему с весами для уравнения с постоянным коэффициентом теплопроводности, исследованную в гл. II.

Интегро-интерполяционный метод позволяет получить и ряд других схем. Так, например, пользуясь уравнением баланса в прямоугольнике

легко получить схему

Для вычисления могут быть использованы и другие формулы, например, -

Мы ограничимся здесь изучением только схем (7). При практическом применении схем (7) для вычисления можно рекомендовать простейшие формулы из :

Приведем схему (7) к «счетному виду», т. е. к виду, удобному для вычислений. Для этого разрешим уравнение (7) относительно

Запишем это уравнение в развернутом виде

Для определения на новом слое получаем разностное уравнение второго порядка (11) (или трехточечное разностное уравнение) с краевыми условиями

Для вычисления правой части уравнения (11) можно пользоваться рекуррентной формулой

Объем вычислений при этом уменьшается.

Решение задачи (11), (12) может быть найдено методом прогонки при так как условия устойчивости прогонки

выполнены.

При получаем явную схему

при -схему с опережением или чисто неявную схему

При получаем симметричную схему

2. Погрешность аппроксимации.

Вычислим погрешность аппроксимации для схемы (7). Пусть -решение задачи решение соответствующей разностной задачи погрешность схемы (7). Подставляя в (7) и считая заданной функцией, получим для следующую задачу:

где

— погрешность аппроксимации для схемы в классе решений задачи

При оценке порядка аппроксимации будем предполагать, что имеют нужное по ходу изложения число производных. По аналогии с § 1 преобразуем формулу для погрешности аппроксимации. В силу уравнения баланса (6) можно написать

где

Отсюда следуют формулы (см. § 1, п. 10):

Преобразуем Так как то

Учитывая, что по определению исходного семейства схем (см. § 1, п. 7)

получаем

если существуют непрерывные в производные при а при кроме того, — производные и, и (точками обозначены производные по штрихами — производные по

Если стационарная схема имеет второй порядок локальной (в норме С) аппроксимации, т. е. а удовлетворяет условиям

то при условии, что а не зависит от

Для оценки порядка погрешности аппроксимации в форме (16) будем пользоваться нормами

3. Погрешность аппроксимации в классе разрывных коэффициентов.

Пусть имеют разрывы первого рода на прямой параллельной оси Пусть На линии разрыва выполняются обычные условия сопряжения

Для погрешности аппроксимации и в этом случае верны формулы Оценки (19) имеют место во всех узлах,

кроме их Если коэффициенты при каждом фиксированном принадлежат классу и то

Для наилучшей схемы, как это следует из § 1, п. 11,

Для произвольной схемы имеем

Введем новую функцию полагая

Отсюда находим

В результате получаем для формулу

где определяется формулой (17), формулами (22), формулой (18).

Представление погрешности аппроксимации в таком виде будет использовано в п. 5 при исследовании сходимости схемы (7) в классе разрывных коэффициентов.

Если при фиксированном выполнены условия второго локального порядка аппроксимации схемы

при то погрешность аппроксимации схемы (7) можно представить в виде

где определяется условиями

Отсюда находим

Выбор того или иного представления зависит от требований гладкости (в областях решения и функций

4. Устойчивость и априорные оценки.

Исследуем устойчивость схемы (7) по начальным данным и по правой части. Рассмотрим задачу

В гл. VI, § 1 проведено детальное исследование вопроса об устойчивости операторно-разностных двухслойных схем с весами

где линейный оператор, заданный на вещественном гильбертовом пространстве со скалярным произведением При этом относительно оператора А используется информация общего характера (требуется знание лишь таких свойств оператора А, как самосопряженность и положительность).

Результаты общей теории устойчивости схемы (25) применим к нашей конкретной схеме (24).

В качестве пространства выберем пространство сеточных функций, заданных на сетке и обращающихся в нуль

на границе (при ). Оператор при Введем в скалярное произведение и норму

Оператор самосопряжен и положительно определен в Это следует из формул Грина (см. гл. I, § 2):

Вычислим норму оператора Так как самосопряжен, то (см. гл. I, § 3)

Подставляя сюда

находим

В гл. VI, § 1 показано, что условие

является достаточным для устойчивости схемы (25). В нашем случае условие (26) имеет вид

так как

При этом условии для задачи (25) имеет место априорная оценка (см. гл. VI, § 1, теорема 10)

где зависит только от а оператор удовлетворяет лишь условию положительной определенности единичный оператор.

Если, кроме того, самосопряженный оператор и

где любое число, не зависящее от то для задачи (25) справедливы оценка (см. гл. VI, § 1, теорема 10)

где

Входящие в (27) и (28) нормы можно заменить более простыми нормами.

Рассмотрим оператор при Из формулы Грина следует:

Так как самосопряженные и положительно определенные операторы, то из операторного неравенства следует или Функция есть решение задачи или

Полагая получаем

Оценим теперь выражение

Априорная оценка (28) принимает вид

если выполнено условие

Обратимся теперь к выражению где есть решение задачи или Полагая находим

Функция определяется из условий

по формуле для если в ней заменить на

Из явных выражений для легко получить оценки

где постоянные из (8) и (9).

Подставляя в (27), получаем для решения задачи (24) при следующую априорную оценку:

если выполнено условие (26).

Чтобы получить оценку решения задачи (25) в энергетической норме потребуем выполнение условий:

Это неравенство для нашего оператора выполняется, если потребовать, чтобы или где не зависит от В самом деле,

В силу теорем 12, 13 из гл. VI, § 1 для схемы (25) имеют место следующие априорные оценки:

1) Если выполнены условия (32) и то

2) Если выполнены условия (32) и то

Здесь положительные постоянные, не зависящие от

В нашем случае так что

Учитывая оценки для и неравенство

получим для решения задачи (24) в случае следующие оценки:

при

Отсюда видно, что схема (24) при а 0,5 абсолютно устойчива. Явная схема как это видно из (26), устойчива при

т. е. условно устойчива. Величина максимального допустимого шага то зависит от максимума коэффициента теплопроводности так, что при Поэтому пользоваться явными схемами для уравнения (1) с большим коэффициентом теплопроводности нецелесообразно.

Из оценок (33) и (34) устойчивость в С по начальным данным не следует. Соответствующие оценки в норме С можно получить при помощи принципа максимума. Для этого запишем уравнение (24) в виде

или

В гл. I, § 2, п. 5 для уравнения (36) с правой частью при условии доказан принцип максимума и получена априорная оценка

В нашем случае и

Пусть выполнены условия

Тогда и все коэффициенты при в (38) неотрицательны, поэтому и из (37) получаем

Суммируя по от до у, имеем

Эта же оценка справедлива и для явной схемы

Таким образом, доказана

Теорема 1. Если выполнено условие

то для задачи (24) справедлив принцип максимума и имеет место априорная оценка (39) в равномерной метрике

Из (40) видно, что при оценка (39) верна при любых т. е. схема с опережением абсолютно устойчива в С. Для явной схемы, оценка (39) верна при условии (35).

Рассмотренные в этом пункте априорные оценки мы применим для исследования скорости сходимости разностной схемы (7) (9).

5. Сходимость и точность.

Чтобы выяснить скорость сходимости или порядок точности схемы (7) — (9) как в классе непрерывных так и разрывных коэффициентов, нужно оценить решение задачи (13), учитывая при этом структуру погрешности аппроксимации (16) — (23).

Рассмотрим сначала случай непрерывных и достаточно гладких коэффициентов

Пусть схема имеет второй порядок локальной аппроксимации, т. е.

Оценка (34) принимает вид

Отсюда следует равномерная сходимость схемы (7) — (9) со скоростью если выполнены условия, при которых

Займемся теперь исследованием вопроса о сходимости схем (7) в классе разрывных коэффициентов. Представим в виде

суммы где решения задач

Наиболее слабые требования к правой части предъявляет априорная оценка (29), которая для задач (42) и (41) при имеет вид

где определяются формулами (17), (18), (22) и (23).

При этом оцениваются в сеточной норме Из (20) следует, что

Для получаем оценку

Априорная оценка (44) дает

Из априорной оценки (43) следует

Объединяя оценки для получаем

Для наилучшей схемы имеем

так что

Отсюда и из (43), (44) заключаем, что наилучшая схема имеет точность в классе разрывных функций .

Будем предполагать, что и функция в областях непрерывности являются столь гладкими, что выполнены условия

Из предыдущего следует, что верна

Теорема 2. Пусть имеют конечное число разрывов первого рода на прямых, параллельных оси координат и выполнены условия (45) и Тогда любая схема (7) с

имеет в сеточной норме точность а наилучшая схема с коэффициентами имеет точность где при классе гладких функций любая схема (7) имеет в сеточной норме С точность

Чтобы получить оценку точности в норме сеточного пространства С (равномерную оценку), следует воспользоваться априорными оценками (33) для и (34) для Для эти оценки принимают вид

Так как то Далее имеем следовательно,

Для наилучшей схемы получаем оценку

Потеря половины порядка по вместо А), очевидно, связана с методом исследования.

Пользуясь принципом максимума, можно доказать равномерную сходимость со скоростью при условии

Мы рассмотрим схему с опережением Для ее погрешности и имеем задачу

Решение этой задачи оцениваем методом выделения «стационарных неоднородностей», полагая

где решение стационарной задачи:

определяется условиями

Для согласно п. 4, справедливы оценки

Для сеточной функции в силу теоремы 1, при любых имеет место неравенство

Отсюда и из предыдущих неравенств следует:

Так как , то

для любой схемы (7) и

для наилучшей схемы.

Тем самым доказано, что в классе разрывных функций любая схема (7) при равномерно сходится со скоростью а наилучшая схема (7) с равномерно сходится со скоростью

Для дифференциального уравнения

схема с весами имеет вид

где коэффициенты вычисляются по тем же формулам, что и

Если то мы получаем наилучшую схему с коэффициентами где

и т.д. Эта схема сходится при в сеточной норме со скоростью классе разрывных функций имеющих конечное число неподвижных разрывов. В случае наилучшая схема сходится со скоростью равномерно (в С) при любых в классе разрывных коэффициентов. Отметим, что при выводе априорных оценок требуется дифференцируемость по

6. Однородные схемы на неравномерных сетках.

На практике часто применяются неравномерные по сетки. Неравномерность сетки по для двухслойной схемы не вносит никаких изменений в написанные выше формулы и оценки. Следует лишь иметь в виду, что шаг зависит от номера слоя Порядок аппроксимации по времени при этом не меняется. Случай, когда сетка неравномерна по , требует специального исследования, которое проводится по аналогии с § 1.

Пусть сетка на отрезке с шагами Оператор согласно § 1, аппроксимируется разностным оператором

где а вычисляется по формуле (см. § 1, п. 13)

правая часть, например, по формулам (общую формулу для см. в § 1, п. 13):

Приведем простейшие формулы для

Рассмотрим схему с весами

Приведем схему к счетному виду. Известно значение на слое требуется определить на новом слое из условий

Эта задача решается методом прогонки.

Пусть решение этой задачи, -решение исходной задачи (1) — (3), погрешность схемы (55). Подставляя в получаем для задачу

где

погрешность аппроксимации задачи (1) — (3) схемой (55). Воспользуемся уравнением баланса (6) на отрезке

Разделим обе части тождества (6) на и вычтем полученное тождество из (57). Тогда получим

Предположим, что в точке функции имеют разрывы первого рода, а в интервалах дифференцируемы достаточное число раз. При выполняются условия сопряжения

Согласно § 1, п. 13 имеем

где Мы учли, что непрерывна на линии разрыва параллельной оси Подставляя (61) и (62) в (58) — (60), получим

дается формулой (59),

Определяя по формуле (84) из § 1, п. 13 мы получим для разложение (87), § 1, п. 13:

где а — постоянная, зависящая от выбора шаблонного функционала Возьмем простейшую формулу для

Тогда для получим оценку

если вне разрыва имеет производные

Перейдем к выяснению точности схемы. Для этого нам понадобятся априорные оценки (27), (28), (33), (34) решения задачи (56).

Рассмотрим пространство сеточных функций, заданных на сетке и равных нулю на границе (при Введем в скалярные произведения

и норму

Рассмотрим оператор при Из тождества

следует, что А — самосопряженный оператор.

Первая фомула Грина и замечание к лемме 1 из гл. I, § 2, п. 3 дают

т.е. А — положительно определенный оператор. Так как то удовлетворяет условию Липшица по с постоянной Для нормы оператора А имеем оценку

В самом деле

Для разностной задачи (56) с правой частью (63) справедлива оценка

при условии

Положим где удовлетворяет (56) с правой частью решение задачи (56) с Для оценки воспользуемся (33) или (33), для оценки неравенством (34). Отсюда и из неравенства получаем оценку (71).

Предположим, что коэффициенты гладкие и выполнены условия, при которых

Тогда схема (55) на любой последовательности неравномерных сеток равномерно сходится со скоростью при Это следует из (71) и (73).

Рассмотрим вопрос о сходимости схемы (55) в классе разрывных коэффициентов.

В дальнейшем будем предполагать, что

I. Функции могут иметь конечное число разрывов первого рода на прямых, параллельных оси координат .

II. Сетка выбрана так, что все линии разрыва функций проходят через узлы этой сетки.

III. В областях между линиями разрыва функции достаточное число раз дифференцируемы, так что во всех узлах сетки имеют место формулы (63) — (65) и справедливы оценки

Теорема 3. Пусть выполнены условия I—III. Тогда при схема (55), (56) в классе разрывных коэффициентов на специальных последовательностях сеток равномерно сходится со скоростью где

Для доказательства теоремы достаточно использовать (71) и (75).

Замечание 1. Сходимость со скоростью в сеточной норме имеет место при более слабом условии III:

Это следует из априорной оценки (29):

Замечание 2. Для схемы с опережением равномерную сходимость со скоростью можно доказать, по аналогии с п. 5, при помощи принципа максимума и метода стационарных неоднородностей. Верны оценки (39) и (30), из которых, в силу (75), следует, что

7. Монотонные схемы для параболических уравнений общего вида.

Рассмотрим для параболического уравнения общего вида следующую задачу в

В § 1, п. 15 были получены монотонные схемы второго порядка точности для стационарного уравнения разрешимые при любых

Чтобы получить для (78) монотонную схему, для которой справедлив принцип максимума при любых их, рассмотрим уравнение с возмущенным оператором

Оператор при фиксированном аппроксимируем разностным оператором (см. § 1, п. 15)

где

Здесь те же шаблонные функционалы, что и в § 1; они обеспечивают второй порядок аппроксимации.

Для уравнения (79) пишется чисто неявная (четырехточечная) однородная схема

Коэффициенты вычисляются по тем же формулам, что и Погрешность аппроксимации этой схемы, в силу построения оператора есть

Так же, как и в предыдущем пункте, можно показать, что для задачи (80) с при любых справедлива оценка

где При этом существенно используется монотонность оператора Из этой оценки следует равномерная сходимость схемы (80) со скоростью

8. Цилиндрически- и сферически-симметричные задачи теплопроводности.

При изучении процессов теплопроводности или диффузии в телах, имеющих форму цилиндра, естественно пользоваться цилиндрической системой координат Если температура не зависит от то мы приходим к уравнению (обозначим

В случае сферической симметрии уравнение теплопроводности имеет вид

В § 1, п. 18 были изучены однородные схемы для стационарных уравнений в сферической и цилиндрической системах координат.

Рассмотрим уравнение более общего, чем (81) и вида

При получаем уравнение (81), при уравнение При ставится естественное условие ограниченности решения, которое дает

а при - обычное условие (первого или третьего рода), например,

Разностную схему с весами для уравнения (82) можно, по аналогии с п. 1, получить интегро-интерполяционным методом. Оператор

при этом аппроксимируется разностным оператором

или

Задаче (82) — (82") ставим в соответствие схему с весами

Формула для правой части дается ниже (см. (85)). Условие (82) аппроксимируется разностным условием

Погрешность аппроксимации условия (82) условием (84)

В самом деле, по аналогии с § 1, п. 18, убеждаемся, что

(точка обозначает дифференцирование по штрих — дифференцирование по

Учитывая затем, что

получаем

Для решения системы разностных уравнений (83), (84) можно применить обычный метод прогонки.

Напишем условия для погрешности и:

где

Пользуясь уравнением баланса на промежутке для уравнения (82) при фиксированном (ср. п. 1), преобразуем к виду

Правую часть будем определять по формуле

т. е. при Из формулы (159), § 1 следует

Таким образом, для получаем представление

где

Рассмотрим схему с опережением и покажем, что при она равномерно сходится со скоростью если выполнены условия (86).

Представим где решение стационарной задачи

Этими условиями определяется для всех Доопределим при полагая или

Для получаем условия

В § 1, n. 18 для получена оценка

Напишем уравнение для

Нам понадобится оценка так как

Из уравнения для находим

так что

Для оценки воспользуемся неравенством (87):

Предположим, что имеют столько производных, сколько требуется для выполнения условий

Тогда будем иметь

Для оценки воспользуемся принципом максимума. Запишем уравнение (82) в виде

В силу теоремы 3 из гл. I, § 2 имеем

где

Подставляя сюда оценки для находим

Тем самым доказано, что схема (83) — (85) при равномерно сходится со скоростью

9. Третья краевая задача.

Рассмотрим краевую задачу

В § 1, п. 16 было получено разностное условие третьего рода для стационарного уравнения Формально переход от стационарного к нестационарному уравнению можно рассматривать как замену на . Применяя этот прием при выводе разностных условий, аппроксимирующих краевые условия третьего рода, приходим к следующей разностной краевой задаче:

Здесь

Приведенная выше схема имеет точность при при

Запишем эту разностную схему в виде, пригодном для применения метода прогонки:

где

Прогонка устойчива, если так как

10. Периодическая задача.

Рассмотрим задачу о распространении тепла в однородном тонком круговом кольце радиуса

Для однозначного определения должно выполняться условие периодичности

которое можно заменить условиями сопряжения в точке

Заменой переменных

преобразуем отрезок в отрезок а уравнение — к виду

Введем сетку

и напишем простейшую неявную схему

Первое из условий сопряжения дает

Второе условие аппроксимируется, по аналогии с § 1, п. 19, уравнением При этом точки считаем совпадающими и ставим условие

Таким образом, разностную схему пишем во всех узлах сетки учитывая условие периодичности при написании схемы в узле

Аналогично ставится разностная задача и для уравнения с переменными периодическими коэффициентами

и периодическими краевыми условиями (условиями сопряжения)

Все функции периодичны с периодом 1, так что Коэффициенты могут быть различны: При этом производные разрывны: Если отождествить концы и то условия периодичности можно трактовать как условия сопряжения в точке разрыва коэффициента После этого становится понятным, что схему надо писать во всех узлах с учетом условия В результате получим однородную схему с весами:

где и коэффициенты находятся по обычным формулам, например,

Написанные условия однозначно определяют решение. Эта схема имеет аппроксимацию Полученная относительно у задача вида

решается методом циклической прогонки (см. Дополнение, § 3).

Для исследования вопроса об устойчивости и точности следует рассмотреть пространство сеточных функций заданных при и удовлетворяющих условию периодичности

В вводится скалярное произведение и норма

Пусть при Для А справедливы формулы Грина и

Так как то для получения априорной оценки надо воспользоваться замечанием к теореме 11, гл. VI, § 1. Вводя оператор где произвольное число, не зависящее от получаем

Так как А липшиц-непрерывен по (в силу условия Ссзк), то для решения периодической задачи верна оценка

если

где не зависят от

При этом же условии имеет место неравенство

При для нашей разностной задачи справедлив принцип максимума при любых из которого следует равномерная устойчивость по начальным данным и по правой части, а также равномерная сходимость со скоростью

11. Квазилинейные уравнения.

При изучении высокотемпературных процессов необходимо учитывать зависимость коэффициентов теплоемкости и теплопроводности от температуры.

Рассмотрим уравнение

В неоднородной среде могут быть разрывными функциями (для разных веществ зависимость от и может быть различной). Уравнение (88) при может быть приведено с помощью замены искомой функции: к виду:

Для решения квазилинейных уравнений метод конечных разностей практически является единственным методом, позволяющим эффективно найти решение. Для квазилинейных уравнений использование явных схем нецелесообразно, если являются быстроменяющимися (например, степенными) функциями температуры. Условие устойчивости

требует мелкого шага по времени, определяемого часто значениями функций с в небольшом числе узлов. Поэтому применяются безусловно устойчивые неявные схемы.

Рассмотрим сначала уравнение (89) с Для его решения используют нелинейную (относительно разностную схему

Чтобы отыскать решение этого разностного уравнения, можно использовать итерационный метод

где значение итерации функции В качестве начальной итерации выбирают значение функции у на предыдущем временном слое. Значения находятся методом прогонки.

Рассмотрим теперь два типа чисто неявных схем (схем с опережением, для простейшего квазилинейного уравнения теплопроводности

где

Схема а):

Схема б):

где

Сравним эти схемы. Погрешность аппроксимации этих схем Обе они абсолютно устойчивы. Схема а) линейна относительно значения функции на слое и значения функции находятся по значению функции на слое например, методом прогонки. Поскольку схема а) абсолютно устойчива, шаг выбирается только из соображений точности. Схема б) нелинейна относительно функции и для нахождения ее решения используется метод итераций. Итерационный процесс строится следующим образом:

Относительно у разностная схема оказывается линейной. В качестве начальной итерации берется функция у предыдущего шага по времени: Итерационный процесс для большинства встречающихся на практике коэффициентов сходится. Практически оказывается достаточным сделать две-три итерации. Даже в том случае, если итерации не сходятся, для повышения точности схемы оказывается полезным сделать две итерации. При счете по итерационной схеме (92), (93) задают либо число итераций, либо точность сходимости итераций и требуют выполнения условия

Недостаток схемы (92), (93) в том, что счет интераций требует удвоения числа занимаемых в машине ячеек памяти по сравнению со схемой а), так как для вычисления у нужно «помнить» у и у.

Для нахождения значения функции по функции при счете по схеме (92), (93) нужно сделать несколько итераций, а при счете по схеме а) значение находится сразу.

Поскольку обе схемы абсолютно устойчивы и имеют одинаковый порядок аппроксимации, то казалось бы, что и в этом отношении схема а) имеет преимущество перед итерационной схемой б). Однако это не так.

Практика показала, что для получения одинаковой точности счета по схемам а) и б), схема б) позволяет использовать настолько более крупный шаг по времени, что несмотря на необходимость итераций, это приводит к уменьшению объема вычислительной работы.

Можно использовать схемы, имеющие второй порядок аппроксимации по пространству и времени:

Однако такие схемы имеют недостаток, они — немонотонны, что приводит часто к появлению «ряби». Для получения хороших. результатов в этом случае нужно выбирать достаточно мелкий шаг по времени.

Рис. 7.

В случае уравнений (88) со слабой квазнлинейностью, при иногда используются так называемые схемы предиктор-корректор, дающие точность Приведем пример такой схемы при (рис. 7):

Мы не будем останавливаться здесь на теоретическом исследовании указанных выше схем (91) — (94) (см., например, А. А. Самарский [3], Дуглас и Джонс [1]).

Пример 1. Температурные волны. Встречаются задачи, в которых при при например, В этом случае может существовать фронт

температуры на котором производные терпят разрывы, а поток непрерывен. Распространение фронта будет происходить с конечной скоростью (так называемые температурные волны). Задача при имеет автомодельное решение. Для расчета температурных волн А. А. Самарским и И. М. Соболем [1] применялась схема б), которая является схемой «сквозного счета» и не предусматривает выделения точек слабого разрыва. В качестве начальных и граничных условий задавалось точное автомодельное решение. Всюду, кроме нескольких ближайших к фронту узлов, отклонение сосчитанного решения от точного оказывалось малым (не превосходило 0,002 при число итераций не превосходило Локально-одномерным методом (см. гл. VII) проводились расчеты многомерных температурных волн. Изучение сходимости разностных схем для расчета температурных волн проводилось В. Баклановской [1].

Пример 2. Задача о фазовом переходе (задача Стефана). Пусть имеется две фазы с коэффициентами теплопроводности и теплоемкости . В каждой фазе температура удовлетворяет уравнению

На границе раздела фаз температура постоянна и равна температуре фазового перехода, Скорость движения границы фазового перехода удовлетворяет уравнению

если в первой фазе во второй фазе

Вводя -функцию, уравнение (95) (с учетом условий на границе фазового перехода) запишем в виде

Для решения задачи Стефана применяется метод сглаживания: -функция заменяется -образной функцией , отличной от нуля лишь на интервале и удовлетворяющей условию нормировки

Сглаживая на интервале функции получаем квазилинейное уравнение

для решения которого можно использовать описанные выше схемы. Разностные методы решения задачи Стефана рассматривались, например, в работах А. А. Самарского, Б. Д. Моисеенко [1] и Б. М. Будака, Е. Н. Соловьевой, А. Б. Успенского [1].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление