Главная > Математика > Введение в теорию разностных схем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Погрешность аппроксимации на сетке.

До сих пор мы рассматривали локальную разностную аппроксимацию (аппроксимацию в точке). Именно в этом смысле и шла речь о порядке аппроксимации в предыдущем пункте. Обычно требуется оценка порядка разностной аппроксимации на всей сетке.

Пусть сетка в некоторой области евклидова пространства линейное пространство сеточных функций, заданных на пространство гладких функций — норма на норма на Предполагается, что 1) существует оператор такой, что для любого нормы и согласованы, т. е.

где норма вектора

Рассмотрим некоторый оператор заданный в и оператор преобразующий сеточную функцию в сеточную функцию заданную на (т. е. действующий из

Назовем погрешностью аппроксимации оператора разностным оператором сеточную функцию

где любая функция (вектор, элемент) из

Если при то говорят, что разностный оператор аппроксимирует дифференциальный оператор

Будем говорить, что разностный оператор аппроксимирует дифференциальный оператор с порядком если

или где положительная постоянная, не зависящая от

Замечания. 1. Если вектор с компонентами то под можно понимать длину Может оказаться, что аппроксимация по различна по порядку. Тогда вместо (18) будем иметь

Выбирая среди наименьшее число и обозначая его через получим оценку (18).

2. Если сетка неравномерна, т. е. где число узлов, то, например, или есть среднее квадратичное значение.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Разностная аппроксимация на неравномерной сетке. Рассмотрим оператор в пространстве функций, заданных на отрезке Выберем на отрезке произвольную неравномерную сетку

Оператору согласно примеру 6 предыдущего пункта, поставим в соответствие разностный оператор

определенный в узле на нерегулярном трехточечном шаблоне

Вводя обозначения

оператор можно записать в виде

В п. 2 была найдена локальная погрешность аппроксимации

Отсюда видно, что оператор имеет в сеточной норме С первый порядок аппроксимации

В сеточной норме также получаем первый порядок:

Однако в норме

имеет второй порядок, так что

Докажем это утверждение. Перепишем в виде

Принимая во внимание, что находим

где в любой норме. Главный член в разложении имеет «дивергентный вид». Поэтому

Отсюда видно, что

и, следовательно,

Так как

то т. е. погрешность аппроксимации в норме имеет второй порядок.

Отметим, что норма согласована с нормой так что при

Разобранный пример показывает, что исследование локальной аппроксимации может оказаться недостаточным для суждения о порядке разностной аппроксимации и тем самым для суждения о качестве разностного оператора.

Выбор подходящей нормы для оценки погрешности аппроксимации связан со структурой оператора и в каждом конкретном случае должен быть предметом изучения. Связь между оператором и нормой для оценки погрешности аппроксимации в общем виде установлена в гл. Ее конкретизация для данного случая естественно приводит к норме

Аналогичная ситуация встречается и при изучении разностных аппроксимаций для оператора где кусочно-непрерывная функция (см. гл. III).

Если ищется решение нестационарного уравнения (например, уравнения теплопроводности), то перченная (время) выделяется. Функция как функция аргумента х является элементом пространства Пусть сетка в области пространства сетка на отрезке

Сеточная функция определена на сетке

Как функция аргумента она является вектором пространства с нормой Для оценки на сетке обычно используется норма

или одна из норм

Пусть разностная аппроксимация оператора Оператор определен на сеточных функциях заданных на сетке

Пусть как функция х принадлежит Тогда принадлежит для любого , Если непрерывна по то можно положить для всех Таким образом, задана на сетке и можно определить погрешность аппроксимации

Будем говорить, что аппроксимирует с порядком по х и с порядком по если в классе достаточно гладких функций выполняется оценка

где положительная постоянная, не зависящая от Пример

Оператор пишется во всех внутренних узлах сетки

Если имеет две производных по и четыре производных по непрерывных в прямоугольнике

то в каждом внутреннем узле сетки согласно п. 2, имеем

Отсюда следует, что аппроксимирует со вторым порядком по и с первым порядком по в любой из норм (20) и (21), где либо Таким образом, в этом случае из локальной аппроксимации следует аппроксимация на сетке.

До сих пор мы рассматривали погрешность разностной аппроксимации на функциях и, принадлежащих некоторому классу . В частности, в наших примерах в качестве V выбирался класс достаточно гладких функций.

Пусть теперь является решением некоторого дифференциального уравнения: например,

В качестве разностной аппроксимации оператора, стоящего слева, выберем Выше было показано, что на равномерной сетке

Подставим сюда и предположим, что а следовательно, для Тогда т. е. погрешность аппроксимации в классе решений уравнения где линейная функция, тождественно равна нулю, . В этом случае говорят, что аппроксимация точная. Если же то разностный оператор можно подправить, вводя оператор

и для этого оператора имеем

Таким образом, рассмотрение погрешности разностной аппроксимации на решении дифференциального уравнения может использоваться для повышения порядка аппроксимации.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление