Главная > Математика > Введение в теорию разностных схем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

20. Разностная задача Штурма — Лиувилля. Постановка задачи и основные свойства.

Задача Штурма — Лиувилля или задача на собственные значения состоит в следующем: требуется найти такие значения параметра X (собственные значения) при которых существуют нетривиальные решения (собственные функции) однородного уравнения

Здесь кусочно-непрерывные функции, удовлетворяющие условиям

где — постоянные.

Если имеет разрыв первого рода в точке то в этой точке должны выполняться условия сопряжения

Задача (204) — (206), как известно (см. Р. Курант и Д. Гильберт [1]), эквивалентна следующей вариационной задаче: на классе кусочно-гладких функций удовлетворяющих условиям

найти минимум функционала

Этот минимум определяет наименьшее собственное значение

и достигается на первой собственной функции (принцип минимума)

Остальные собственные значения находятся как минимум функционала (208) на классе кусочно-гладких функций сравнения удовлетворяющих дополнительным условиям

где - собственная функция номера Этот минимум определяет собственное значение

где собственная функция.

Укажем некоторые известные свойства собственных функций и собственных значений (см. Р. Курант и Д. Гильберт [1]).

1. Задача Штурма — Лиувилля (204) — (206) для кусочно-непрерывных функций имеет счетное множество собственных значений которым

соответствуют собственные функции При этом каждому собственному значению соответствует только одна собственная функция.

2. Собственные функции образуют ортонормированную (с весом систему.

3. Собственные значения при точнее

где зависят только от и не зависят от

4. Для собственных функций и их производных справедливы оценки

где положительные постоянные, не зависящие от

Для случая доказательство оценок (211) дано в книге Куранта и Гильберта [1].

Покажем, что оценки (211) имеют место и в случае кусочно-непрерывных и кусочно-дифференцируемых коэффициентов, точнее, при

Без ограничения общности можно считать, что имеют разрывы первого рода в одной точке В этой точке выполняются условия сопряжения (206). Сделаем замену аргумента, положив

Тогда уравнение (204) при примет вид

где

Умножим уравнение (212) на и проинтегрируем от до Учитывая, что

и пользуясь условиями сопряжения, получаем после интегрирования по частям

Проинтегрируем еще раз по от до I и учтем, что

В результате получим

Таким образом, справедлива оценка

Отсюда и из предыдущих оценок следует:

так что

что и требовалось доказать.

В процессе доказательства мы использовали кусочную непрерывность и кусочную дифференцируемость по что имеет место, если

Перейдем к постановке разностной задачи на собственные значения. Введем на отрезке [0, 1] равномерную сетку

и аппроксимируем задачу (204), (205) при помощи однородной разностной схемы

где

Будем предполагать, что однородный разностный оператор второго порядка аппроксимации (см. п. 7), а коэффициент

определяется по той же формуле, что и Отсюда следует, что справедливы неравенства

Таким образом, разностная задача Штурма — Лиувилля состоит в следующем: требуется найти такие значения параметра № (собственные значения), которым соответствуют нетривиальные решения уравнения (213), а также найти эти нетривиальные решения (собственные функции).

Условия сопряжения, аналогичные условиям (206), в окрестности разрыва коэффициента отсутствуют, так как мы рассматриваем однородные схемы, не предусматривающие явного выделения точек разрыва коэффициентов (схемы сквозного счета).

Умножая (213) скалярно на у и учитывая формулу Грина (см. гл. I, § 2, п. 1), находим

где

а у — решение задачи (213).

Пользуясь формулой Грина, нетрудно убедиться также в том, что разностная краевая задача (213) эквивалентна следующей вариационной задаче: найти минимум функционала в классе сеточных функций, заданных на и удовлетворяющих условиям

При этом число

есть наименьшее собственное значение, -соответствующая собственная функция задачи (213) (принцип минимума).

Собственное значение номера находится как минимум функционала в классе функций сравнения, удовлетворяющих условиям

Здесь собственная функция номера При этом

Разностная задача Штурма — Лиувилля (213) является чисто алгебраической задачей. Поэтому не представляет труда доказательство следующих утверждений.

1. Существует собственных значений

которым соответствуют собственные функции

Каждому собственному значению соответствует только одна собственная функция.

2. Собственные функции образуют ортонормированную (с весом систему:

3. Справедливы оценки

где положительные постоянные, не зависящие от

4. Если то имеют место оценки

где

постоянные, не зависящие от Докажем оценки (219) и (220). Заметим, прежде всего, что для случая

собственные значения выписываются в явном виде:

Функция монотонно убывает при Поэтому справедлива оценка

и, следовательно,

Далее, имеет место очевидное неравенство

из которого следует

Подставляя сюда полученную выше оценку для приходим к неравенству (219).

Перейдем к доказательству оценки (220). Пусть собственная функция, собственное значение задачи (213), любые две точки сетки Рассмотрим два очевидных тождества

Из условия нормировки следует, что существует хотя бы одна точка х, в которой следовательно, Применяя для преобразования правой части (221) неравенство Коши — Буняковского и учитывая свойства (215) и (219), получим

Далее, из условия следует, что существует такая точка х, в которой следовательно, Пользуясь затем неравенством Коши — Буняковского для преобразования правой части тождества (222) и учитывая (214), (215) и (219), будем иметь

Тем самым, в силу произвольности х, доказаны неравенства (220).

Условие нормировки определяет собственную функцию с точностью до знака. Для однозначного определения собственной функции надо ввести дополнительное условие выбора знака. Для этого можно, например, потребовать, чтобы Аналогичный выбор знака может быть проведен и для собственных функций исходной задачи (204). В дальнейшем изложении нормировка собственных функций наряду с условиями будет включать и выбор знака указанным выше способом.

Сходимость при собственных значений и собственных функций разностной задачи (213) к собственным значениям и функциям исходной задачи (204) была доказана Курантом [1] для простейшей схемы: в классе гладких коэффициентов.

Пользуясь методом Куранта, докажем сходимость схемы (213) в классе кусочно-дифференцируемых коэффициентов.

Рассмотрим сначала случай первого собственного значения

Пусть -любая непрерывная и кусочно-дифференцируемая функция, удовлетворяющая условиям Нетрудно заметить, что

Отсюда следует, что при любых где положительная постоянная, не зависящая от

Пусть -сеточная функция, реализующая минимум функционала

при условии нормировки Рассмотрим последовательность сеточных функций на некоторой последовательности сеток

Лемма 5. Последовательность функций равностепенно непрерывна и равномерно ограничена.

Доказательство, а) Если точки сетки, то

Пользуясь неравенством Коши — Буняковского и ограниченностью получим отсюда

т. е. равностепенно непрерывна.

б) Из условия нормировки следует, что по крайней мере в одной точке имеет место неравенство т. е. Отсюда и из (223) следует равномерная ограниченность последовательности

По теореме Арцела, примененной к последовательности сеточных функций, существует некоторая подпоследовательность

равномерно сходящаяся к некоторой функции непрерывной на отрезке [0, 1]:

Будем предполагать, что соответствующая числовая последовательность ограниченная в силу (219), сходится к некоторому пределу :

В противном случае мы выбрали бы из нее сходящуюся подпоследовательность и ограничились бы рассмотрением только этой подпоследовательности.

Лемма 6. Если для некоторой последовательности

то где наименьшее собственное значение задачи (204).

Доказательство. Пусть некоторая кусочно-гладкая функция, для которой и

и пусть

В силу принципа минимума причем при Переходя к пределу при получим

Отсюда, в силу произвольности следует, что

Наша ближайшая цель — показать, что предельная функция удовлетворяет уравнению (204) при

Задача (213) эквивалентна разностному аналогу интегрального уравнения

где - функция Грина для оператора (см. п. 8). В самом деле, в п. 8 было показано, что решение задачи

дается формулой

В нашем случае следует формально положить что сразу дает (226).

Если воспользоваться функцией Грина оператора

то задачу (213) можно свести к уравнению

В п. 9 было выписано явное выражение для Из него видно, что при сходится к функции Грина задачи

так, что

Совершим в (228) предельный переход при и учтем соотношения (224), (225) и (230): 1

Отсюда, по определению функции следует, что решение интегрального уравнения (231) удовлетворяет дифференциальному уравнению (204) при Итак, — собственное значение задачи (204). Так как, согласно лемме где наименьшее собственное значение, то следовательно, -первая собственная функция задачи (204).

Таким образом, мы доказали, что последовательность равномерно сходится к сходится к при

Приведенные выше рассуждения относились к наименьшему собственному значению

В случае других собственных значений при все рассуждения сохраняют силу, если учесть, что определяются как минимумы функционалов соответственно, при дополнительных условиях ортогональности и

Следует отметить, что мы исследуем собственные значения И собственные функции номеров где не зависят от

При изучении задачи Штурма — Лиувилля для простейшего оператора в гл. I, § 2, мы нашли собственные значения

Их число равно числу внутренних узлов сетки.

Сравнивая с решением задачи для дифференциального уравнения видим, что последние собственные значения не имеют никакого отношения к точным собственным значениям тех же номеров. Так, например,

т. е. отличается от точного значения примерно в 2,5 раза.

Всюду мы предполагаем, что номер собственного значения фиксирован и не зависит от При отыскании собственных значений номера фактически требуется, чтобы

Поэтому для определения собственных значений высокого порядка требуется очень мелкая сетка. Для целесообразно использовать схемы высокого порядка точности.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление