Главная > Математика > Введение в теорию разностных схем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

14. Точная схема. Схема любого порядка точности.

Для уравнения (1) можно построить однородную консервативную трехточечную схему, являющуюся точной, так что решение разностной задачи совпадает в узлах любой сетки сол с точным решением задачи (1):

Для удобства дальнейшего изложения перепишем (1) в виде

Отметим, прежде всего, что наилучшая схема (23), (24) при является точной. В самом деле, решение задачи (97) при

Отсюда видно, что

где следовательно, функция (98) удовлетворяет уравнению

Обратимся к уравнению (97). Пусть равномерная сетка. Основная идея получения точной схемы состоит в том, что решение уравнения (97) в любой внутренней точке (и, в частности, при интервала выражается через значения и правую часть

В самом деле, можно представить в виде

где числа, и линейно независимые решения однородного уравнения (шаблонные функции), частное решение неоднородного уравнения (97) при однородных условиях:

Определим шаблонные функции как решения задач Коши:

Полагая в найдем

Шаблонные функции обладают следующими свойствами:

1) и монотонно возрастает при и монотонно убывает при

2) имеет место равенство

3) справедливо соотношение

4) и, наконец,

Докажем эти свойства.

1) Свойство 1) непосредственно следует из (101) и (102).

2) Учитывая (101) и (102), имеем (при

3) Напишем формулу Грина на отрезке

(кликните для просмотра скана)

где

Введем теперь в точке местную систему координат, полагая Тогда отрезок преобразуется в отрезок (шаблон) — точке будет соответствовать узел Положим в силу (106), Шаблонные функции очевидно, удовлетворяют условиям:

где и зависят только от значений на отрезке — 1 (на отрезке ). Опуская в (110) индекс получаем для однородную консервативную схему

где

Коэффициенты вычисляются по одной и той же формуле

Шаблонные функционалы заданы в классе кусочно-непрерывных функций: для для

Из (113), (114) видно, что точная схема не принадлежит семейству схем (25), (26), у которых шаблонные функционалы и зависят только от одной функции. В случае уравнения (97) с постоянными коэффициентами шаблонные функции находятся в явном виде

Для коэффициентов и получаем постоянные значения

Из (112) видно, что являются аналитическими функциями параметра и поэтому разлагаются в ряды

где определяются по рекуррентным формулам

Если в (115) взять конечное число членов:

и вычислить по формулам (114) коэффициенты заменяя в этих формулах полиномами то мы получим схему (называемую усеченной схемой ранга которая имеет точность в классе кусочно-непрерывных функций

При получаем схему нулевого ранга. Она имеет точность для и отличается от наилучшей схемы (23), (24) выражениями для

Усеченные схемы замечательны тем, что они позволяют получить любой порядок точности для произвольных кусочно-непрерывных функций.

Точная схема и усеченные схемы могут быть получены (теми же методами) на произвольной неравномерной сетке (см. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский [4]).

Практическое использование усеченных схем в случае переменных коэффициентов уравнения (1) требует вычисления многократных интегралов на каждом интервале сетки. Заменяя эти интегралы конечными суммами, можно получить весьма простые схемы коэффициенты которых выражаются через значения в отдельных точках на каждом отрезке

1, Эти схемы сохраняют свой порядок точности и в случае разрывных на сетках когда точки разрыва являются узлами сетки

Точную и усеченную схемы можно использовать в качестве эталонных схем для исследования точности схем (25), (26). Это позволяет снизить требования гладкости которые использовались при оценке порядка точности схем (25), (26).

В работе А. Н. Тихонова, А. А. Самарского [5] получены точные и усеченные разностные краевые условия третьего рода.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление