Главная > Математика > Введение в теорию разностных схем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Разностная аппроксимация простейших дифференциальных операторов.

Пусть дан дифференциальный оператор действующий на функцию Заменяя входящие в

производные разностными отношениями, мы получим вместо разностное выражение являющееся линейной комбинацией значений сеточной функции на некотором множестве узлов сетки, называемом шаблоном:

или

где - коэффициенты, шаг сетки, шаблон в точке х. Такая приближенная замена на называется аппроксимацией дифференциального оператора разностным оператором (или разностной аппроксимацией оператора

Изучение разностных аппроксимаций оператора обычно проводят локально, т. е. в любой фиксированной точке х пространства. Если непрерывная функция, то Прежде чем приступить к разностной аппроксимации оператора необходимо выбрать шаблон, т. е. указать множество соседних с узлом х узлов, в которых значения сеточной функции могут быть использованы для аппроксимации оператора

В этом пункте рассматриваются примеры разностной аппроксимации для простейших дифференциальных операторов.

Пример

Фиксируем некоторую точку х оси и возьмем точки где Для аппроксимации можно воспользоваться любым из следующих выражений

Выражение (1) есть правая разностная производная (ее мы будем обозначать ), а — левая разностная производная (обозначение ). Разностные выражения определены на двух точках (имеют двухточечные шаблоны соответственно, см. рис. 4).

Рис. 4.

Кроме того, в качестве разностной аппроксимации производной можно взять линейную комбинацию выражений (1) и (2)

где а — любое вещественное число. В частности, при получаем так называемую центральную (двухстороннюю) разностную производную

Таким образом, оказывается, что можно написать бесчисленное множество разностных выражений, аппроксимирующих Возникает вопрос: какую ошибку мы допускаем, используя ту или иную разностную аппроксимацию, и как ведет себя разность в точке х при Величина называется погрешностью разностной аппроксимации в точке х. Разложим по формуле Тейлора

(предполагая при этом, что функция — достаточно гладкая в некоторой окрестности точки фиксированное число). Подставляя это разложение в (1), (2) и (4), получим

Отсюда видно, что

Пусть V — класс достаточно гладких функций заданных в окрестности точки х, содержащей при шаблон разностного оператора Будем говорить, что аппроксимирует дифференциальный оператор с порядком в точке х, если

Таким образом, левая и правая разностные производные аппроксимируют с первым порядком, а центральная разностная производная — со вторым порядком.

Пример 2.

Чтобы написать разностную аппроксимацию второй производной, надо использовать три точки т. е. взять

трехточечный шаблон. В этом случае

Замечая, что правая разностная производная в точке х совпадает с левой разностной производной в точке т. е. перепишем (6) в виде

Пользуясь разложением функции по формуле Тейлора, нетрудно показать, что порядок аппроксимации в этом случае равен двум, т. е.

так как

Пример 3. .

Выберем пятиточечный шаблон, состоящий из точек

и определим

Нетрудно проверить, что аппроксимирует со вторым порядком, причем

Разложение погрешности аппроксимации по степеням можно использовать для повышения порядка аппроксимации. В самом деле, имеем

Отсюда следует, что оператор

определенный на шаблоне аппроксимирует с четвертым порядком.

В принципе такой процесс повышения порядка аппроксимации можно продолжить дальше и получить любой порядок аппроксимации в классе достаточно гладких функций При этом шаблон, т. е. число используемых узлов, возрастает. Однако указанный прием повышения порядка разностной аппроксимации не всегда можно рекомендовать для практического

применения, так как качество получающихся при этом операторов ухудшается (в смысле монотонности, условий существования обратного оператора, устойчивости и т. д.).

Пример

Пусть фиксированная точка плоскости два числа (шаги). Чтобы написать разностную проксимацию для оператора мы должны прежде всего определить шаблон.

Рис. 5.

Остановимся сначала на аппроксимациях простейшего типа. Пусть шаблон состоит из четырех точек (рис. 5, а). Определим

Для упрощения записи разностных выражений весьма важным является вопрос о введении рациональной символики. Условимся о следующих обозначениях:

В этих обозначениях, например, разностная производная по может быть записана следующим образом:

Учитывая (7) и (10), запишем (9) в виде

При построении мы взяли значение в момент t (на нижнем слое).

Используя шаблон, изображенный на рис. 5, б, можно взять в момент (на верхнем слое), что дает

Взяв линейную комбинацию (9) и (11), получим однопараметрическое семейство разностных операторов

определенных при и на шеститочечном шаблоне, указанном на рис. 5, в.

Для оценки порядка разностной аппроксимации воспользуемся формулами

Подставляя эти выражения в формулы для получим

т. е.

т. е.

т. е.

Таким образом, оператор аппроксимирует со вторым порядком по при любом , с первым порядком по х при и со вторым порядком по х при

Пример 5. .

В этом случае для записи разностного оператора надо использовать значения сеточной функции в три момента времени Минимальным является пятиточечный шаблон (рис. 6, в).

Рис. 6.

Одна из возможных аппроксимаций (на шаблоне 6, в), использующая значение на среднем слое имеет вид

где

Аналогично можно написать оператор

На девятиточечном шаблоне (рис. 6, г) можно написать двухпараметрическое семейство разностных операторов

При отсюда следует (13), и при следует (14). Замечая, что видим, что оператор (13) имеет аппроксимацию Этот же порядок аппроксимации имеет и оператор (15) при где а — любое число.

Отметим, что параметры так же, как и параметр а в предыдущем примере, управляют не только порядком аппроксимации, но, как будет показано ниже, и таким важным свойством, как устойчивость соответствующей разностной схемы.

Пример Нерегулярный шаблон (неравномерная сетка).

Пусть два числа. Возьмем трехточечный шаблон Если то шаблон будем называть нерегулярным (сетка, построенная из таких шаблонов, неравномерна). Введем обозначения

и определим по формуле

Если то совпадает с выражением (7) (см. пример 2). Вычислим локальную погрешность аппроксимации (в точке

Учитывая разложение достаточно гладкой функции в окрестности узла

получаем

(пользуемся тем, что

Выражение для примет вид

Таким образом, оператор (16) на нерегулярном шаблоне имеет первый локальный порядок аппроксимации.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление