Главная > Математика > Введение в теорию разностных схем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

11. Погрешность аппроксимации в классе разрывных коэффициентов.

Вычислим погрешность аппроксимации (51) схемы (25), (26) в случае, когда коэффициенты уравнения (1) разрывны. Без ограничения общности можно считать, что имеют разрывы только в одной точке Решение уравнения (1) при удовлетворяет условиям непрерывности

где

Будем предполагать, что следовательно,

Рассмотрим наилучшую схему (23), (24). Для нее формула (53) принимает вид

где

Нетрудно видеть, что

В самом деле

Отсюда и из формулы (51) следует, что погрешность аппроксимации любой из схем (25), (26) можно записать в форме:

Учитывая ограниченность и их, получаем

Предположим, что точка разрыва функций находится на отрезке сетки так что

При функции являются достаточно гладкими. Поэтому для любой схемы (25), (26)

Рассмотрим наилучшую схему (23), (24). Для оценки воспользуемся формулой (58). Так как поток непрерывен, то и из (58) следует, что

В силу непрерывности и кусочной дифференцируемости функции имеем при при

Отсюда и из (56), (61) следует, что при

т. е. наилучшая схема (23), (24) в классе разрывных коэффициентов имеет второй порядок аппроксимации в негативной норме

Для произвольной схемы (25), (26) погрешность аппроксимации оценивается по формулам (60). Нетрудно заметить, что

так как в общем случае

В результате приходим к оценке

т. е. любая исходная схема в классе разрывных коэффициентов имеет первый порядок аппроксимации в норме

Остановимся более подробно на вопросе о локальной структуре погрешности аппроксимации Очевидно, что в узлах функция имеет вид

т. е. в узлах, соседних с точкой разрыва схема (25) не аппроксимирует уравнение (1), так как

Из формулы (64) видно, что главные слагаемые в выражениях равны по абсолютной величине и противоположны по знаку, так что

погрешность аппроксимации в окрестности разрыва коэффициента имеет дипольный характер. Именно поэтому, несмотря на отсутствие локальной аппроксимации, консервативная схема (25), (26) имеет первый суммарный порядок аппроксимации:

Можно указать схемы, отличные от (23), (24) и имеющие второй порядок аппроксимации в случае разрывных коэффициентов. При этом предполагается, что известно положение разрыва на сетке: Заменяя интегралы (в 57) их приближенными значениями, например, полагая

и аналогично для получаем схему с коэффициентами которая будет иметь точность для так как

Если разрыв находится в узле сетки то условия (66) выполняются для

Если то можно взять

При этом будем иметь для

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление