Главная > Математика > Введение в теорию разностных схем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

9. Априорные оценки.

Пользуясь формулой (31), найдем оценку решения задачи (29) через правую часть — Для этого нам понадобятся равномерные оценки и ее разностных производных

Сначала рассмотрим принцип максимума и его следствия для задачи (29).

В гл. I доказан принцип максимума для разностного уравнения

где

Нам потребуются следующие теоремы (см. гл. I, § 2, п. 5).

Теорема 1. Если и выполнены условия (39), то решение задачи (38) неотрицательно,

Теорема 2. Пусть

и выполнены условия (39). Тогда имеет место оценка

Записывая уравнение (29) в виде (38), где

получаем, что если то для задачи (29) справедливы теоремы 1 и 2.

Лемма 1. Для функции Грина задачи (29) справедливы равномерные оценки

Доказательство. 1. Пусть тогда а находятся в явном виде

Так как то из (37) сразу получаем

т. е.

2. Пусть Полагая где функция Грина для случая получим

В силу теоремы 1 имеем т.е.

Возьмем теперь разностную производную по от обеих частей уравнения (44). Тогда для получим уравнение

Пользуясь теоремой 2 для задачи (45), получим

Отсюда в силу формулы

следует

Лемма 1, доказана,

Лемма 2. Для решения задачи (29) с правой частью

верна оценка

Доказательство. Воспользуемся формулой (31), формулой суммирования по частям (гл. I, § 2, п. 1) и оценкой (43):

Теорема 3. Для решения задачи (29) справедлива оценка

где

либо

Если имеет вид

то для решения задачи (29) выполняется неравенство

Доказательство. 1. Представим в виде или Функция определена с точностью до аддитивной постоянной. В силу леммы 2 имеем

Рассмотрим два случая.

т. е.

т. е.

2. Если то функцию представим в виде суммы где — решение задачи (29) с правой частью Решение задачи (29) с правой частью В силу (46) и (47) имеем

Отсюда и следует оценка (50).

Замечания. 1. Если то

2. Из формулы (31) и леммы 1 следуют оценки

где Нетрудно убедиться в том, что

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление