Главная > Математика > Введение в теорию разностных схем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7. Исходный класс консервативных схем. Шаблонные функционалы.

Пусть функционал задан на множестве кусочно-непрерывных функций на множестве функций Предположим, что

1) Все шаблонные функционалы нормированы к единице:

2) - линейный неотрицательный функционал, т. е.

для любых чисел и функций из

3) Функционал

а) однородный функционал первой степени (нелинейный, вообще говоря):

б) неубывающий функционал, т. е.

в) имеет дифференциал третьего порядка, т. е. для любых

где при при При этом функционал линеен по функционал квадратичен по так что

Основное изложение теории однородных разностных схем проведем в предположении, что имеет второй дифференциал.

Если линейный функционал, то он удовлетворяет тем же требованиям 2а), 2б), что и функционал В общем случае из За) и следует равенство

откуда получаем

Условия второго порядка аппроксимации (27) накладывают дополнительные ограничения на шаблонные функционалы. Рассмотрим, например,

В силу условий 1) и 2а) имеем

Условие выполнено, если

Из условий 1), 26), За), 36) следует, что

В самом деле, Покажем теперь, что условия (27) для выполнены, если и

Здесь приняты обозначения

Рассмотрим где

В силу свойства функционала имеем:

Подставляя сюда выражение для и учитывая, линеен, a - квадратичен, находим

так что

Чтобы получить формулу для надо в выражении для заменить на В результате приходим к формуле

Подставляя эти выражения для в (27), получим

Условие автоматически выполнено.

Если имеет второй дифференциал и то для Чтобы убедиться в этом, надо представить в виде

где

Подставим выражение для в предыдущую формулу:

если

В дальнейшем будем рассматривать исходное семейство однородных консервативных схем (25), (26), шаблонные функционалы которых удовлетворяют условиям 1) — 3) и условиям

Такие схемы, как будет показано ниже, имеют второй порядок аппроксимации в специальных «негативных» или «интегральных» нормах.

Исходному семейству принадлежат также схемы, для которых, кроме указанных выше условий, выполнено условие

Выше было показано, что в этом случае выполнены условия (27) второго локального порядка аппроксимации: если

Рассмотрим теперь схему (25) с шаблонным функционалом

и покажем, что . В самом деле,

Следовательно, схема (23), (24) принадлежит исходному семейству. В дальнейшем схему (23), (24) будем называть наилучшей схемой.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление