Главная > Математика > Введение в теорию разностных схем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6. Однородные консервативные схемы.

Рассмотрим теперь семейство однородных консервативных схем

Коэффициенты однородной схемы (25) вычисляются при помощи шаблонных функционалов по формулам

причем область определения есть область определения есть

Иными словами, определен для всех кусочно-непрерывных функций заданных на отрезке

При вычислении согласно (26) мы полагаем Это соответствует переходу от на котором задана функция к шаблону на котором требуется задать чтобы вычислить

Сравним консервативную схему (25) со схемой общего вида (4). Очевидно, что (4) может быть записана в виде (25) только при условии

или для любых .

Отсюда следует, что для консервативной схемы функционал не зависит от значений при от значений

Отметим, что консервативность схемы (4) является необходимым условием ее устойчивости относительно возмущения коэффициентов при (коэффициентная устойчивость, см. Тихонов и Самарский [1]).

Требование консервативности («дивергентности») схемы (4) эквивалентно также требованию самосопряженности разностного оператора. Действительно, рассмотрим оператор

определенный на пространстве сеточных функций заданных на и равных нулю на границе, Введем скалярное произведение Так как для любых функций справедливо тождество

то условие будет выполнено при любых тогда и только тогда, когда Условия (5) локальной аппроксимации второго порядка в случае консервативной схемы принимают вид

Если эти условия выполнены, то

т. е.

В п. 5 при помощи интегро-интерполяционного метода была получена однородная консервативная схема (25) с коэффициентами специального вида (24), а именно с шаблонными функционалами

Коэффициенты при этом вычисляются путем интегрирования функций (см. (24)).

Для практических целей удобно иметь возможно более простые формулы для нахождения использующие значения в отдельных точках. Обычно используют шаблон из

одной двух точек, полагая, например,

или

Если разрывны, то в формулах (28) следует брать полусумму предельных значений слева и справа

Отметим, что формулы (28) и ряд других формул для могут быть получены путем замены интегралов (24) их приближенными выражениями

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление