Главная > Математика > Введение в теорию разностных схем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Пример схемы, расходящейся в случае разрывных коэффициентов.

Рассмотрим задачу (1) при

Представим в виде Естественно, на первый взгляд, для получения аппроксимации второго порядка провести замену

Тогда получим схему

Преобразуя (11) к виду (4), найдем

т. е. схема (11) принадлежит семейству (4).

Условия (5) и (6) выполнены, так как на участках гладкости

так что при достаточно малом

Покажем, что схема (11) расходится даже в классе кусочно-постоянных коэффициентов

где иррациональное число,

Точное решение задачи (10), (13), удовлетворяющее условиям сопряжения, имеет вид

Найдем решение разностной задачи (11), (13). Так как при при то уравнение (11) принимает вид при Отсюда находим

Коэффициенты определим из уравнений при

Из (12) и (13) находим Решая уравнения (16) относительно и учитывая, что определим

Предельный переход при дает

где

Функции (15) доопределим на всем отрезке (при помощи линейной интерполяции), получим функцию совпадающую с в узлах Найдем предел

Сравним предельную функцию с точным решением определяемым формулой (14). Из (14), (18) и (19) видно, что при а это возможно лишь при или

Итак, решение (15) разностной задачи (11), (14) при стремится к функции которая в случае отлична от точного решения задачи (10). Следовательно, схема (11) расходится.

Нетрудно установить физический смысл функции Функция есть решение задачи (10), удовлетворяющее при условиям где есть мощность сосредоточенного источника (стока) тепла в точке Величина меняется в широких пределах в зависимости от к (в частности, при Таким образом, физическая причина расходимости схемы (11) в том, что она нарушает баланс (закон сохранения) тепла, приводя к появлению дополнительного источника (при или стока (при тепла в точке

Схемы, нарушающие законы сохранения, называют неконсервативными или дисбалансными.

Рассмотренный пример показывает, что при написании разностных схем следует добиваться, чтобы эти схемы выражали на сетке соответствующий закон сохранения. Такие схемы мы будем называть консервативными.

В следующем пункте дается общий метод получения консервативных схем, сходящихся в классе разрывных коэффициентов.

Прежде, чем переходить к его изложению, сделаем два замечания, связанные с рассмотренным выше примером.

Критерий экспериментальной проверки сходимости схемы путем сгущения сетки, применяемый часто на практике в тех случаях, когда нет теоретических оценок качества схемы, может иногда привести к ошибочному выводу о сходимости схемы на том основании, что при сгущении сетки обнаруживается стремление решения разностной задачи к некоторой предельной функции Приведенный выше пример показывает, что функция вообще говоря, может сколь угодно сильно отличаться от решения исходной задачи. Поэтому методом сгущения сетки надо пользоваться с известной осторожностью. Во всяком случае, он не может подменить теоретического исследования хотя бы на модельных примерах.

Можно рекомендовать для проверки сходимости и порядка точности метод пробных функций. Выбирается некоторая

функция U(x) (она может быть выбрана произвольно, но так, чтобы выполнялись условия сопряжения в точке разрыва коэффициента k(x)). Подставляя ее в уравнение (1), найдем правую часть и краевые значения Полученная задача (1) решается по схеме (4) и разностное решение сравнивается с известной функцией на различных сетках.

Второе замечание состоит в том, что, так как не всякая схема (4), сходящаяся в случае гладких коэффициентов, сходится в случае разрывных коэффициентов, то необходимо выделить семейство схем, сходящихся в классе разрывных коэффициентов, и в дальнейшем иметь дело только с такими схемами.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление