Главная > Математика > Введение в теорию разностных схем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава III. ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ

Основное содержание главы — теория однородных разностных схем для одномерных уравнений с переменными коэффициентами:

Главное внимание уделяется способам написания однородных разностных схем и исследования их аппроксимации и сходимости в случае разрывных а также в случае неравномерных сеток.

§ 1. Однородные схемы для стационарного уравнения с переменными коэффициентами

1. Введение.

В связи с широким применением вычислительных машин становится ясным, что нецелесообразно использовать разностные схемы и составлять программы, предназначенные лишь для решения отдельных задач частного вида. Необходимо иметь разностные схемы, пригодные для решения классов задач, определяемых заданием типа дифференциального уравнения, класса краевых и начальных условий, а также функционального пространства, которому принадлежат коэффициенты дифференциального уравнения. Такие универсальные разностные схемы должны, естественно, удовлетворять требованиям сходимости и устойчивости на любой последовательности сеток и для любой исходной задачи из рассматриваемого класса задач. Требование единообразия вычислительного алгоритма для решения класса задач приводит к понятию однородных разностных схем. Под однородной разностной схемой понимается

разностная схема, вид которой не зависит ни от выбора конкретной задачи из данного класса, ни от выбора разностной сетки. Во всех узлах сетки для любой задачи из данного класса разностные уравнения имеют один и тот же вид. Коэффициенты однородной разностной схемы определяются как функционалы коэффициентов дифференциального уравнения.

Большой интерес, например, представляет отыскание однородных схем «сквозного» или «непрерывного» счета, пригодных для решения уравнения теплопроводности (диффузии) с разрывным коэффициентом теплопроводности (диффузии) по одним и тем же формулам (программам) без явного выделения точек или линий разрыва коэффициентов. Это значит, что схема в окрестности разрывов не меняется и вычисления во всех узлах ведутся по одним и тем же формулам, независимо от того, разрывен или непрерывен коэффициент теплопроводности.

Использование однородных схем сквозного счета особенно важно в тех случаях, когда коэффициент теплопроводности вычисляется в результате приближенного решения других уравнений, что, например, имеет место при решении уравнений газодинамики в теплопроводном газе, когда коэффициент теплопроводности зависит от плотности и терпит разрывы на ударных волнах.

Для теории разностных схем необходимо задать исходное семейство схем. Общий способ задания семейства однородных разностных схем был указан в работе А. Н. Тихонова и А. А. Самарского [1]. Коэффициенты однородной разностной схемы выражаются через коэффициенты исходного дифференциального уравнения при помощи некоторых так называемых шаблонных функционалов, произвол в выборе которых ограничен требованиями аппроксимации, разрешимости, устойчивости и др. Семейство однородных разностных схем задано, если указано семейство допустимых шаблонных функционалов схемы.

Поясним это в возможно более простой ситуации. Будем рассматривать разностные операторы над функциями одного переменного Разностный оператор вначале определяется на целочисленном шаблоне, т. е. на множестве

где целые числа, после чего совершается переход к реальной сетке

с шагом Пусть вектор-функция, заданная на отрезке (на коэффициентном шаблоне). Пусть далее

некоторые шаблонные функционалы, зависящие, вообще говоря, от параметра и определенные для вектор-функций Линейная (относительно сеточной функции однородная разностная схема определяется где

Опуская индекс это выражение можно записать в виде

Целью теории однородных разностных схем является отыскание (в исходном семействе) схем, пригодных для решения возможно более широкого класса задач, а также выделение наилучших схем (например, по порядку точности, по объему вычислений и др.).

В этом параграфе мы дадим изложение основных вопросов теории однородных разностных схем для одномерной стационарной задачи теплопроводности с переменными коэффициентами Полученные здесь результаты будут использованы при изучении в §§ 2, 3 однородных разностных схем для нестационарного уравнения теплопроводности

и уравнения колебаний

2. Исходная задача.

Рассмотрим первую краевую задачу для стационарного уравнения теплопроводности или диффузии

Эта задача имеет решение, если - кусочно-непрерывные функции (принадлежат классу Если имеет разрыв первого рода в точке так что

то при ставятся условия сопряжения:

(температура и поток непрерывны).

При могут быть заданы краевые условия

Если, например, то это условие третьего рода, при условие второго рода. Возможны различные комбинации условий первого, второго и третьего рода (например, при условие третьего рода, при условие первого рода и т. д.).

Мы проведем основное изложение для первой краевой задачи.

3. Трехточечные схемы.

На отрезке [0,1] введем равномерную сетку

с шагом обозначим

— сеточная функция, заданная на

При написании схемы, аппроксимирующей уравнение (1), возьмем трехточечный шаблон Любое трехточечное разностное уравнение на этом шаблоне можно записать в виде

где и зависят от шага или в виде

где Коэффициенты и правая часть пока не определены.

Пусть на шаблоне (т. е. ) определены функционалы

для любых функций из зависящие, вообще говоря, от параметра Если коэффициенты разностной схемы (2) при любых во всех узлах произвольной сетки он вычисляются по одним и тем же формулам

то схема (2) называется однородной.

Отсюда видно, что, если, например, задан функционал то для вычисления надо положить формально

Если схема (2) однородна, то индекс можно опустить и (2) записать в виде

где

Семейство однородных схем задано, если задано семейство шаблонных функционалов Требования аппроксимации и разрешимости задачи (4) накладывают ограничения на произвол в их выборе.

Вычислим локальную погрешность аппроксимации схемы (4):

где произвольная достаточно гладкая функция, также имеют нужное по ходу изложения число производных. Разлагая в точке х по формуле Тейлора, найдем

Требование будет выполнено, если

Для разрешимости задачи (4) достаточно (см. гл. I, § 2, п. 9), чтобы

Приведем два примера разностных схем второго порядка аппроксимации для задачи (1):

где

Нетрудно видеть, что для каждой из этих схем выполнены условия (5), если достаточно гладкие функции.

В дальнейшем для упрощения изложения, будем предполагать, что шаблонные функционалы не зависят от параметра так что

где

Будем рассматривать семейство схем, для которых выполнены условия (5), (6), (9). Нас интересуют схемы, сходящиеся в случае разрывных Ниже приводится пример, показывающий, что не всякая однородная схема вида (4), удовлетворяющая условиям аппроксимации (5) (в случае гладких коэффициентов) и условиям разрешимости (6), сходится в классе разрывных

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление