Главная > Математика > Введение в теорию разностных схем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава II. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

В этой главе изучаются разностные схемы для простейших нестационарных уравнений: одномерного уравнения теплопроводности и уравнения колебаний струны. Построены двухслойные и трехслойные схемы с погрешностью аппроксимации для первой, второй и третьей краевых задач. Излагаются два способа исследования устойчивости разностных схем: метод разделения переменных и метод энергетических неравенств.

§ 1. Уравнение теплопроводности с постоянными коэффициентами

Для выяснения методов построения разностных схем в случае нестационарных задач, а также методов их исследования рассмотрим одномерное уравнение теплопроводности с постоянными коэффициентами.

1. Исходная задача.

Процесс распространения тепла на прямой описывается уравнением теплопроводности (см., например, А. Н. Тихонов и А. А. Самарский [6])

где температура, с — теплоемкость единицы массы, плотность, коэффициент теплопроводности, плотность тепловых источников, т. е. количество тепла, выделяющегося в единицу времени на единице длины. Коэффициенты теплопроводности и теплоемкости могут зависеть не только от но и от температуры и (в этом случае уравнение называется

квазилинейным). Если постоянны, то уравнение (1) записывают в виде

где коэффициент температуропроводности.

Без ограничения общности можно считать и записывать уравнение (2) в виде

В самом деле, вводя и вновь обозначая через х, получим (3). Если ищется решение уравнения (2) на отрезке то обычно пользуются безразмерными переменными

В этих переменных уравнение (2) записывается в виде (3), причем 1, а

Мы будем рассматривать первую краевую задачу для уравнения (3) в прямоугольнике

Требуется найти непрерывное в решение задачи

2. Семейство шеститочечных схем.

Введем сетки

и сетку в

с шагами Обозначим через значение в узле сеточной функции у, определенной на Заменяя производную первой разностной производной, а — второй разностной производной и вводя произвольный вещественный параметр , рассмотрим однопараметрическое семейство разностных схем

Схему (4) будем называть иногда схемой с весами.

Краевые и начальные условия аппроксимируем точно

Здесь сеточная функция, аппроксимирующая правую часть уравнения (3), например,

а

Разностную задачу, определяемую условиями будем называть задачей

Разностная схема (4) написана на шеститочечном шаблоне, состоящем из узлов

(см. рис. 5, в) с центром в точке Уравнение (4) пишется в узлах называемых внутренними узлами. Множество всех внутренних узлов сетки будем обозначать

Краевые и начальные условия (5) и (6) пишутся в гранитных узлах сетки

Множество узлов сетки , лежащих на прямой обычно называют слоем. Схема (4) содержит значения искомой функции у на двух слоях и поэтому называется двухслойной схемой.

От выбора параметра о, как мы убедимся в дальнейшем, зависят точность и устойчивость схемы (4).

Рассмотрим схемы, соответствующие частным значениям о. При получаем четырехточечную схему (рис. 5, а)

или

определенную на шаблоне Значение в каждой точке слоя (нового слоя) выражается по явной формуле (7) через значения на слое (на старом слое). Так как при задано начальное значение то формула (7) позволяет последовательно определить значения у на любом слое. Схема (7) называется явной.

Если а то схема (4) называется неявной двухслойной схемой. При для определения на новом слое получаем систему алгебраических уравнений

с краевыми условиями

Решение этой системы находится методом прогонки (см. гл. I, § 1, п. 9). Укажем еще две схемы.

При имеем схему с опережением или чисто неявную схему

При получаем шеститочечную симметричную схему

(называемую иногда схемой Кранка — Никольсона).

Перейдем к выяснению вопросов о погрешности аппроксимации и точности схемы с весами (4).

3. Погрешность аппроксимации.

Чтобы ответить на вопрос о точности схемы (4) — (6), нужно сравнить решение задачи с решением задачи Так как -непрерывное решение задачи то положим и рассмотрим разность

Для оценки сеточной функции на слое выберем некоторую норму 11-11, например, одну из следующих норм:

Перейдем к безиндексным обозначениям, полагая (см. гл. I, § 1, п. 2)

Перепишем задачу (4) — (6) в виде

Найдем условия, определяющие Подставляя и в и считая заданной функцией, получим для задачу

где

— погрешность аппроксимации схемы на решении уравнения

Напомним определение порядка аппроксимации (см. гл. I, § 1, п. 3). Схема аппроксимирует уравнение с порядком или имеет аппроксимацию на решении уравнения если или для всех где положительная постоянная, не зависящая от а норма некоторая норма на сетке .

Перейдем к оценке порядка аппроксимации схемы предполагая, что имеет нужное по ходу изложения число производных по Будем пользоваться обозначениями:

Разложим по формуле Тейлора в окрестности точки Пользуясь формулами

перепишем в виде

Подставляя сюда выражения

получим

Отсюда видно, что при так как Учитывая, что из (12) получаем

Приравняем нулю выражение в квадратных скобках и найдем

При этом значении равном

схема имеет аппроксимацию т. е. Порядок аппроксимации схемы не нарушится, если мы заменим выражением т. е. положим или

Эта формула удобней для вычислений.

Пусть класс функций, имеющих производных по производных по непрерывных в Из формул (13) и (14) ясно, что схема имеет аппроксимацию при или если при любом например, или если при заданной формулой (15), если и

Схему называют обычно схемой повышенного порядка точности.

Выбор правой части должен быть подчинен требованию соблюдения порядка аппроксимации при данном Так, при можно полагать равным и т.д.

Из (13) видно, что погрешность может достигаться и при если положить

где а — любая постоянная, не зависящая от и В этом случае зависит от и Произвол в выборе а ограничен условием устойчивости схемы (достаточно взять см. п. 4),

4. Устойчивость по начальным данным.

Исследуем устойчивость схемы методом разделения переменных (при однородных граничных условиях). Пользуясь тождествами

перепишем схему с однородными краевыми условиями в виде

Схема (16) устойчива, если для решения задачи (16) верна оценка

где положительные постоянные, не зависящие от — некоторые нормы на слое (на сетке ). Пусть Тогда оценка

выражает устойчивость схемы (16) по начальным данным. Если то неравенство

означает устойчивость схемы (16) по правой части.

Оценка (17) для решения задачи (16) выражает устойчивость схемы (16) по начальным данным и по правой части.

Решение задачи (16) представим в виде суммы где у — решение однородного уравнения

а у — решение неоднородного уравнения с начальным условием

Для исследования устойчивости схемы (16) по начальным данным надо найти оценку для решения задачи (16а). Для этого воспользуемся методом разделения переменных и получим оценку (18) в сеточной норме

Будем искать решение уравнения (16а) в виде произведения функций, одна из которых зависит только от вторая только от полагая Подставим это выражение в (16а) и учтем, что

Тогда получим

где - параметр разделения. Отсюда находим

Для X получаем разностную задачу на отыскание собственных значений (разностную задачу Штурма — Лиувилля):

рассмотренную в гл. I, § 2, п. 2. Там было показано, что эта задача имеет нетривиальные решения — собственные функции

соответствующие собственным значениям

Собственные функции образуют ортонормированную систему

Имеет место равенство Парсеваля

где коэффициенты разложения любой сеточной функции заданной на и равной нулю при

Таким образом, задача (16а) имеет нетривиальные решения где Тк определяется из уравнения

произвольная постоянная.

Решение уравнения (16а) вида называют гармоникой номера Оно является решением задачи (16а) с начальным условием Выясним, при каких условиях устойчива каждая из гармоник у при Из формул

видно, что при где не зависит от имеем

при т. е. задача неустойчива. Если не возрастает с ростом при фиксированном

и гармоника устойчива.

Если все следовательно, то будем говорить, что схема «устойчива на каждой гармонике».

Выясним теперь, при каких значениях о выполняется условие или обеспечивающее устойчивость схемы на каждой гармонике. Из формулы видно, что если атки т.е. Требование или

выполнено при или

Условие при этом автоматически выполняется. Так как

и, следовательно, условие будет выполнено для всех

Таким образом, все гармоники устойчивы при одном и том же условии

Покажем, что из устойчивости схемы (16а) на каждой гармонике (из спектральной устойчивости) следует ее устойчивость в сеточной норме по начальным данным где

любая сеточная функция, заданная при и равная нулю при

Общее решение задачи (16а) ищем в виде суммы частных решений вида (22), полагая

Подставляя сюда и учитывая (20), находим

Если

Таким образом, для решения задачи (16а) верна оценка

т. е. схема (16) устойчива в сеточной норме по начальным данным при

Разностная схема называется условно устойчивой, если она устойчива лишь при наличии связи между и безусловно устойчивой — в противоположном случае. Схема, устойчивая при любых называется абсолютно устойчивой (имеются схемы, устойчивые при достаточно малых эти схемы не являются абсолютно устойчивыми, хотя могут быть и безусловно устойчивыми).

Рассмотрим некоторые частные случаи.

1. Явная схема Условие (23) дает т.е.

Явная схема устойчива лишь при условии (25), связывающем шаги (условно устойчива).

2. Неявная схема при а устойчива при любых так как Таким образом, схема с опережением и симметричная схема устойчивы при любых Лит (абсолютно устойчивы).

3. Схема повышенного порядка аппроксимации абсолютно устойчива. В самом деле,

при любых

4. Неявные схемы с при а, не зависящем от условно устойчивы при

5. Схема (16) с имеющая аппроксимацию устойчива при любых если .

Таким образом, параметр а управляет не только порядком аппроксимации, но и устойчивостью схемы (16).

При исследовании устойчивости мы фактически имели дело только с двумя временными слоями и шагом Все рассуждения сохраняют силу, если сетка сот неравномерна, т.е. шаг зависит от номера слоя. В этом случае параметр о можно считать зависящим от номера слоя, Тогда вместо (23) получим условие Для схемы частности, следует положить Условие а достаточно для устойчивости схемы с весами при неравномерной сетке .

5. Устойчивость по правой части.

Покажем, что условие (23)

достаточно для устойчивости схемы (16) и по правой части при Для этого рассмотрим задачу (166). Ее решение ищем в виде

Правую часть разложим по

Подставляя (26) и (27) в (166) и учитывая, что найдем

Отсюда, в силу ортогональности системы собственных функций следует, что выражение в фигурных скобках равно нулю, т. е.

Подставим (28) в (26):

Пользуясь неравенством треугольника находим

или

Пусть одновременно выполняются условия

Тогда и

Суммируя по приходим к оценке

так как для решения задачи (166).

Оценка (31) получена при условии (30). Откажемся теперь от требования и вместо (30) потребуем

где не зависит от Тогда

т. е. для всех Поэтому из (29) следует оценка и

Если то условие означает, что В этом случае можно выбрать так как при Объединяя оценки (24) и (31), (33), видим, что верно следующее утверждение.

Если выполнены условия

то схема (16) устойчива по начальным данным и по правой части, так что для решения задачи (16) справедлива оценка

Если то для устойчивости схемы (16) по правой части достаточно, чтобы выполнялось условие

где - произвольная постоянная, не зависящая от При этом для решения задачи (16) имеет место оценка

Для схемы постоянная при

6. Сходимость и точность.

Сходимость схемы следует из ее устойчивости и аппроксимации. Погрешность и является решением задачи Пользуясь априорной оценкой (31), получаем

Отсюда видно, что верна теорема:

Если схема устойчива по правой части и аппроксимирует задачу то она сходится, причем порядок ее точности совпадает с порядком аппроксимации.

Подставляя в (36) оценки из п. 3 для погрешности аппроксимации, получаем, что

До сих пор всюду шла речь об устойчивости и сходимости в среднем, т. е. в сеточной норме Между тем, для практики важно иметь равномерную, т.е. в норме оценку для погрешности решения.

Для получения равномерной оценки решения разностной задачи (16) можно воспользоваться одним из трех методов:

1) принципом максимума, 2) энергетическим методом, который позволяет установить (при помощи теорем вложения) устойчивость в С по правой части, 3) представлением решения в «интегральной» форме через сеточную функцию мгновенного точечного источника (функцию Грина).

Принцип максимума позволяет доказать равномерную устойчивость при дополнительном условии

Отсюда видно, что схема с опережением равномерно устойчива при любых

Методом функции Грина С. И. Сердюковой [2], [3] доказана равномерная устойчивость но начальным данным симметричной схемы и схемы повышенного порядка точности

7. Метод энергетических неравенств.

Используем описанный в гл. I метод энергетических неравенств для исследования устойчивости схемы с весами

Проиллюстрируем этот метод сначала на примере дифференциального уравнения. Рассмотрим задачу с однородными краевыми условиями:

Введем скалярное произведение и норму

где и - функции, заданные при и равные нулю при Умножим уравнение на и проинтегрируем по от до 1:

Интегрируя второе слагаемое по частям и учитывая равенство находим

Для оценки правой части воспользуемся неравенством Коши — Буняковского и -неравенством:

при

Используя эту оценку, получим

откуда, после интегрирования по следует

Учитывая затем, что , получим

Получим теперь аналогичную оценку для разностной задачи (16). Введем, как обычно, скалярные произведения и нормы

Пользуясь тождествами

перепишем (166) в виде

Умножим уравнение (38) на и просуммируем полученное равенство по внутренним узлам сетки

Пользуясь разностной формулой Грина (см. гл. I, § 2)

при соответственно, учитывая затем, что будем иметь

Подставив эти выражения в (39), получим энергетическое тождество

Оно справедливо при любых . Предположим, что Рассмотрим выражение

и покажем, что при Нам понадобится оценка (см. гл. I, § 2, п. 3)

Итак, пусть а Тогда

в силу (42). Отсюда и из (40) следует энергетическое неравенство

Если — решение задачи (16а), то т. е. схема (16) при а устойчива по начальным данным в норме являющейся сеточным аналогом нормы

Однако нас интересует устойчивость по правой части. Пусть

Покажем, что

В самом деле,

Подставляя (44) в (40), получим энергетическое неравенство

Воспользуемся теперь неравенством Коши — Буняковского и е-неравенством:

После подстановки (46) в (45) будем иметь

Просуммируем по учтем, что :

Согласно лемме 1, гл. I, § 2 имеем поэтому

Применим эту оценку к задаче (III):

Отсюда следует равномерная сходимость схемы (II):

Для явной схемы из (43) не следует равномерная сходимость при условии Однако, для нее можно непосредственно получить оценку

В самом деле, запишем явную схему в виде

Если

или

Таким образом, явная схема равномерно устойчива по начальным данным и правой части, если Отсюда и следует ее равномерная сходимость со скоростью

8. Краевые условия третьего рода.

Краевые условия первого рода, которые мы рассматривали до сих пор, удовлетворяются на сетке точно.

В гл. I было показано, как аппроксимировать третье краевое условие для схемы с опережением и явной схемы чтобы обеспечить порядок аппроксимации Здесь мы рассмотрим схему с весами с произвольным а. Пусть при задано краевое условие третьего рода

Разностное краевое условие будем писать на четырехточечном шаблоне, состоящем из узлов Покажем, что разностное условие

где аппроксимирует условие (50) на решении уравнения (3), удовлетворяющем условию (50), причем с тем же порядком, с которым при данном значении а схема аппроксимирует уравнение (3). Подставим и в (51):

где

— погрешность аппроксимации условия (50) разностным условием (51).

Разлагая и в окрестности узла по формуле Тейлора и обозначая значения функции в этом узле, получаем

Подставим сюда из уравнения:

Отсюда видно, что

Нетрудно проверить, что краевое условие при

аппроксимируется с тем же порядком разностным условием

где

Выбирая

и заменяя, соответственно, в (51), (55) на где получим разностные граничные условия, имеющие при аппроксимацию Вводя обозначения

запишем разностные краевые условия (51) и (55) в том же виде, что и схему (II):

где

При получаем разностную аппроксимацию краевых условий второго рода. Порядок аппроксимации остается тем же самым, что и для третьей краевой задачи.

Приведем условие (51) к счетному (т. е. удобному для вычислений) виду. Разрешая (51) относительно получим

Условие (55) приводится к виду

Отсюда видно, что при Для определения у на новом слое получаем разностное уравнение (8) с краевыми условиями (57) и (58). Эта задача при решается методом прогонки (см. гл. I, § 1, п. 9).

Устойчивость схемы с краевыми условиями третьего рода устанавливается либо методом разделения переменных, либо методом энергетических неравенств.

9. Трехслойные схемы для уравнения теплопроводности.

Одной из первых схем, применявшихся для численного решения уравнения теплопроводности была явная трехслойная схема Ричардсона

где

Эта схема, как нетрудно убедиться, имеет второй порядок аппроксимации по Однако она является абсолютно неустойчивой (т. е. неустойчивой при любом законе стремления к нулю). Перепишем уравнение (59) в виде

Если в правой части уравнения (60) заменить суммой то получим трехслойную схему «ромб» (схему Дюфорта и Франкела [1]):

которая остается явной относительно и является абсолютно (при любых устойчивой. Схема «ромб» может быть записана в виде

где

В самом деле, преобразуем правую часть уравнения (61):

Подставляя это выражение в (61), получаем (62). Таким образом, схема «ромб» получается из схемы Ричардсона добавлением к левой части (61) члена обеспечивающего устойчивость. Доказательство устойчивости схемы (62) следует из общей теории гл. VI, поэтому мы его здесь не касаемся. Погрешность аппроксимации схемы (62) есть

Отсюда видно, что схема «ромб» обладает условной аппроксимацией

- Если взять где то, очевидно, что схема (62) аппроксимирует уравнение вида

Обычно для уравнения (3) используются неявные трехслойные схемы с весами:

а) симметричные схемы

б) несимметричные схемы

Уравнения (63) и (64) содержат три слоя Поэтому они пишутся при Значение известно, значение надо задавать дополнительно, например, можно положить

где выбирается из условия (см. гл. I, § 1, п. 6)

Иногда для определения используют двухслойные схемы. Так как

то симметричная схема (63) при любом а имеет второй порядок аппроксимации по Напишем выражение погрешности аппроксимации для схемы (64):

Отсюда видно, что и для схемы (64)

Выписывая в (65) члены и учитывая уравнение нетрудно убедиться в том, что схема (64) имеет аппроксимацию при

Для определения у из (63) и (64) получаем трехточечные уравнения

с правой частью зависящей от и с обычными краевыми условиями при Эта задача решается методом прогонки. В процессе счета надо хранить в оперативной памяти значения у а у для двух предыдущих слоев. В случае двухслойных схем достаточно запоминать лишь один предыдущий слой.

Устойчивость трехслойных схем доказывается в гл. VI. Приведем лишь достаточные условия устойчивости:

Так же, как и в случае двухслойных схем, можно построить разностные краевые условия повышенного порядка аппроксимации для граничных условий третьего рода (50), (54). Для симметричной схемы (4) краевые условия порядка аппроксимации имеют вид

где

Выпишем, далее, разностные краевые условия третьего рода для несимметричной схемы (64):

Эти краевые условия имеют аппроксимацию при любом о, если положить

Если при этом то краевые условия (67) имеют аппроксимацию Наконец, если положить

то получим схему (64), имеющую аппроксимацию

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление