Главная > Математика > Введение в теорию разностных схем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Линейные операторы в пространстве конечного числа измерений.

Рассмотрим -мерное линейное пространство со скалярным произведением и нормой

По определению конечномерного пространства любой вектор можно единственным образом представить в виде линейной комбинации линейно независимых векторов образующих базис пространства Числа называются координатами вектора х. В качестве базиса всегда можно выбрать ортогональную и нормированную систему векторов т. е. такую, что

Отсюда следует, что

Пусть А — линейный оператор, заданный на Каждому оператору А в базисе соответствует матрица размером где компонента вектора

Обратно, всякая матрица определяет линейный оператор.

Матрица самосопряженного оператора в любом ортонормированием базисе есть симметричная матрица.

Остановимся на свойствах собственных значений и векторов линейного самосопряженного оператора А. Собственным значением оператора А называется такое число , что существует вектор обладающий свойством Этот вектор называется собственным вектором, принадлежащим (соответствующим) данному собственному значению

1. Самосопряженный оператор имеет взаимно ортогональных собственных векторов Будем считать, что все нормированы к единице. Тогда Соответствующие собственные значения расположим в порядке возрастания их абсолютных величин:

2. Если линейный оператор А, заданный на имеет взаимно ортогональных собственных векторов, то А — самосопряженный оператор,

3. Если то все собственные значения оператора А неотрицательны.

4. Произвольный вектор можно разложить по собственным векторам оператора

5. Пусть (А самосопряжен и неотрицателен). Тогда и

где наименьшее и наибольшее собственные значения оператора А.

Норма самосопряженного неотрицательного оператора в равна его наибольшему собственному значению,

6. Если самосопряженные операторы перестановочны, т. е. то они имеют общую систему собственных функций (доказательство см., например, И. М. Гельфанд [1]).

7. Пусть перестановочные самосопряженные операторы. Тогда оператор имеет ту же систему собственных функций, что и операторы и собственные значения

где и собственные значения номера операторов соответственно. Имеют место также равенства

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление