Главная > Математика > Введение в теорию разностных схем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Некоторые сведения из функционального анализа

Понятия и методы функционального анализа находят естественное применение в теории разностных схем. Дадим здесь краткий перечень используемых нами элементарных сведений из теории линейных операторов. Для детального изучения основ функционального анализа можно рекомендовать, например, книги Л. В. Канторовича и Г. П. Акилова [1], Л. А. Люстерника и В. И. Соболева [1], Б. 3. Вулиха [1].

1. Линейные операторы.

Пусть линейные нормированные пространства, 3) — некоторое подпространство Если каждому вектору по определенному правилу сопоставлен вектор то говорят, что на (или в X) задан оператор А со значениями в У. Множество называется областью определения оператора А и обозначается Множество всех векторов вида когда называется областью значений оператора А и обозначается Иногда вместо будем также писать

Два оператора называются равными, если области их определения совпадают и для всех выполнено условие

Оператор А называется линейным, если он

1) аддитивен, т. е. для всех

2) однороден, т. е. для всех и любых чисел Я

Линейный оператор А называется ограниченным, если существует такая постоянная что

для любых (здесь норма в норма в Наименьшая из постоянных удовлетворяющих условию (1), называется нормой оператора А и обозначается или просто

Из определения нормы следует, что

Отметим, что в конечномерном пространстве любой линейный оператор ограничен.

Всевозможные линейные ограниченные операторы, действующие из образуют линейное нормированное пространство, так как норма оператора удовлетворяет всем аксиомам нормы: 1) если то для всех

Будем обозначать через множество линейных ограниченных операторов, область определения которых совпадает с X, а значения принадлежат На множестве можно ввести произведение операторов Очевидно, что линейный ограниченный оператор: Если для всех то называются перестановочными или коммутативными; в этом случае пишут

В связи с решением уравнений вида вводится понятие обратного оператора Пусть оператор из X на т. е. Если каждому соответствует только один для которого то этим соответствием определяется оператор называемый обратным для и имеющий область определения и область значений Для любых

имеем, из определения обратного оператора, тождества Нетрудно показать, что если А линеен, то и он существует) также линеен.

Лемма 1. Для того, чтобы аддитивный оператор имел обратный, необходимо и достаточно, что только при

Теорема 1. Пусть А — линейный оператор из X на У. Для того, чтобы обратный оператор существовал и был ограниченным (как оператор из на X), необходимо и достаточно, чтобы существовала такая постоянная что для всех

При этом справедлива оценка

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление