Главная > Математика > Введение в теорию разностных схем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. Принцип максимума.

Для оценки решений некоторых разностных задач оказывается возможным использовать принцип максимума. Мы докажем сейчас принцип максимума для оператора

где

Более общие формулировки принципа максимума содержатся в гл. IV.

Теорема 1. Пусть выполнены условия (51). Тогда, если для всех то функция отличная от константы, не может принимать наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения в точках

Доказательство. Предположим, что в некоторой внутренней точке достигается положительный максимум. Тогда, так как найдется точка в которой

а в одной из соседних точек, например, в точке выполняется строгое неравенство Запишем теперь оператор (50) в виде

В точке из условий (51) следует неравенство

что противоречит требованию Вторая часть теоремы доказывается аналогично.

Следствие 1. Если то функция неотрицательна, Если то при

Следствие выполнены условия (51), то единственным решением задачи

является тождественный нуль, и, следовательно, задача (52) однозначно разрешима при любых

Теорема 2. Пусть решение задачи (52), а решение задачи, которая получится при замене в (52) функций соответственно Тогда, если

то справедлива оценка

Доказательство. Так как то, согласно следствию 1 из теоремы Функции удовлетворяют уравнению (52) с правыми частями и граничными условиями соответственно. Применив следствие 1 из теоремы 1, получим, что т. е. и

Следствие. Для решения задачи (52) с справедлива оценка

Для доказательства рассмотрим вспомогательную задачу

где

Согласно теореме 2, имеем

а из теоремы 1 следует, что

Теорема 3. Пусть в задаче (52)

где и выполнены условия (51). Тогда справедлива оценка

Доказательство. Если при то решением задачи (52) является тождественный нуль и оценка (53) очевидна.

Предположим теперь, что хотя бы в одной внутренней точке. Построим функцию являющуюся решением задачи

Согласно теореме так что нам остается оценить решение задачи (54),

Пусть в точке достигается максимум функции К. Тогда

и из (54) получаем

Если то отсюда следует оценка

что нам и требовалось. Если же то из (54) получим

Так как то отсюда следует равенство

т. е. то же самое максимальное значение достигается и в соседних с точках. Взяв (или повторяем предыдущее рассуждение и получаем неравенство

откуда снова следует либо (55), либо равенство

Так как то при некотором получим и неравенство (55).

Теорема доказана.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление