Главная > Математика > Введение в теорию разностных схем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Разностные аналоги теорем вложения.

В дальнейшем при оценке различных свойств разностных схем, таких как устойчивость, сходимость и т. д., нам понадобятся неравенства, которые соответствуют простейшим теоремам вложения С. Соболева (см. С. Л. Соболев [2]). Докажем три леммы.

Лемма 1. Для всякой сеточной функции заданной на сетке

и обращающейся в нуль при справедливо неравенство

где

Доказательство. Функция на сетке может быть представлена в тождественном виде

С другой стороны, поскольку можно записать:

или

Подставляя эти равенства в (25), находим

Оценим суммы в правой части, используя неравенство (23),

(здесь Максимум выражения на отрезке [0, 1] достигается при и равен 1/4. Поэтому

и, следовательно,

Замечание 1. Лемма 1 остается справедливой на произвольной неравномерной сетке

Замечание 2. В дальнейшем нам потребуется также неравенство типа (24) для отрезка произвольной длины Такое

неравенство нетрудно получить из (24) с помощью замены переменных Тогда х будет меняться на отрезке и

Подставим в (24). В результате получим

Следовательно, на отрезке длины I справедливо неравенство

Замечание 3. Неравенства (24) и (26) получены для функций, обращающихся в нуль на обоих концах интервала. Если функция обращается в нуль лишь на одной границе, то справедливо неравенство

Для произвольных функций неравенства (24), (26), (27), вообще говоря, неверны. Однако можно показать, что в этом случае имеют место неравенства следующего вида

Лемма 2. Для всякой функции заданной на произвольной сетке и обращающейся в нуль при справедливо неравенство

В самом деле, легко проверить, что

Подставляя это неравенство в (26), получим (29).

В случае равномерной сетки оценка (29) может быть улучшена.

Лемма 3. Для всякой функции заданной на равномерной сетке

и обращающейся в нуль при справедливы оценки

Разложим по собственным функциям задачи (14):

В силу первой формулы Грина (8)

Так как

Подставим это выражение в (31) и учтем ортонормированность

Отсюда получаем где

где

Оценим снизу. Обозначив получим

Так как то а меняется на интервале Нетрудно проверить, что минимум функции при достигается в точке т. е. имеет минимум при Отсюда следует, что Учитывая также, что получаем (30).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление