Главная > Математика > Введение в теорию разностных схем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

9. Решение разностных уравнений методом прогонки.

Одним из наиболее употребительных способов решения разностных уравнений, возникающих при аппроксимации краевых задач для уравнений математической физики, является в настоящее время метод прогонки.

Рассмотрим трехточечное разностное уравнение

с краевыми условиями

Здесь заданные числа.

Будем искать решение уравнения (52) в том же виде, в котором заданы краевые условия (53), т. е. в виде

где неизвестные пока коэффициенты.

Подставляя (54) и

в уравнение (52), получим

Отсюда видно, что уравнение (52) будет выполнено, если потребовать

Тем самым, мы получаем рекуррентные соотношения для определения прогоночных коэффициентов

Величины находим из (54) и краевого условия (53) при

Значение необходимое для начала счета по формулам (54), получаем из (54) и краевого условия (53) при

Итак, мы можем получить точное решение краевой задачи (52) — (53) при помощи следующего алгоритма:

Этот способ решения разностных уравнений вида (52) и носит название метода прогонки. Так как значения находятся здесь последовательно, начиная от правой границы, то формулы (55) называют иногда формулами правой прогонки. Аналогично выводятся формулы левой прогонки:

Иногда оказывается удобным комбинировать правую и левую прогонки (так называемая «встречная прогонка», см., например, А. А. Самарский [3]).

Прогоночные формулы (55) называются устойчивыми, если коэффициенты не превосходят по модулю единицы. В этом случае ошибки округления, возникающие в процессе счета по рекуррентной формуле (54), не будут возрастать. Условия

обеспечивают устойчивость прогоночных формул (55). Действительно, и если то

Заметим, что ограничения на можно ослабить. Например, прогоночные формулы (55) остаются устойчивыми, естн вместо (56) потребовать выполнения условий

или условий

Пример 1. Краевые условия первого рода:

На отрезке построим произвольную неравномерную сетку с шагами и заменим (57) следующей разностной задачей

Чтобы решить эту систему уравнений методом прогонки, перепишем (58) в виде

Сравнивая это уравнение с уравнениями (52), (53), находим, что для (58)

Так как условия устойчивости (56) при этом выполнены, то задачу (58) можно решать методом прогонки.

Пример 2. Третья краевая задача:

Введем равномерную сетку сол и построим для (59) разностную схему второго порядка аппроксимации (см. пример 1, п. 6):

Записывая систему (60) в виде (52), (53), получим, что для

Отсюда видно, что при условия устойчивости прогонки (56) выполнены.

Метод прогонки для решения разностных краевых задач был предложен в начале пятидесятых годов несколькими авторами. Это: И. М. Гельфанд и О. В. Локуциевский (см. С. К. Годунов и В. С. Рябенький [1]), В. С. Владимиров (см. Г. И. Марчук [1]), А. С. Кронрод (см. А. Д. Галанин [1]). Ссылки на зарубежных авторов имеются в книге Р. Д. Рихтмайера [1] и И. Бабушки, Э. Витасека, М. Прагера [1]. В настоящее время имеется значительное число работ, посвященных методу прогонки. Некоторые варианты метода прогонки приведены в дополнении к данной книге.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление