Главная > Математика > Введение в теорию разностных схем
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ПРЕДИСЛОВИЕ

Значительное число задач физики и техники приводит к линейным и нелинейным дифференциальным уравнениям в частных производных (уравнениям математической физики). Универсальным и чрезвычайно эффективным методом решения задач математической физики является метод конечных разностей или метод сеток. Он позволяет сводить приближенное решение уравнений в частных производных к решению систем алгебраических уравнений.

Настоящая книга представляет собой введение в теорию разностных схем. В ней дается по возможности элементарное и систематическое изложение основных принципиальных вопросов теории, иллюстрируемых на простейших задачах математической физики для уравнений параболического, гиперболического и эллиптического типов. При этом рассматриваются прежде всего те схемы, которые представляют практический интерес, т. е. пригодны для решения конкретных задач на ЭВМ. Это — однородные разностные схемы, устойчивые на любых допустимых сетках и пригодные для решения классов задач при помощи одних и тех же вычислительных алгоритмов.

Поскольку мы рассматриваем лишь простейшие схемы для уравнений второго порядка, то при решении разностных уравнений используется лишь алгоритм одномерной прогонки (для систем алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей).

Для теории разностаых схем типично предположение о том, что решение исходной задачи для дифференциального уравнения существует и имеет нужное по ходу изложения число производных, обеспечивающее максимальный порядок аппроксимации. Мы не останавливаемся на перечне условий, обеспечивающих требуемую гладкость решения, отсылая читателя к книгам по

общей теории дифференциальных уравнений. Предполагается, что читатель знаком с основами университетского курса теории уравнений в частных производных и элементами функционального анализа. Перечень некоторых сведений из функционального анализа в форме, удобной для дальнейшего использования, дан в главе I.

Понятия аппроксимации, устойчивости и сходимости поясняются в главах I, II на примерах разностных схем для стационарных и нестационарных задач теплопроводности (диффузии).

В главе III излагается теория однородных разностных схем для стационарных и нестационарных одномерных задач теплопроводности с разрывными коэффициентами, а также для одномерного уравнения колебаний.

При помощи разностной функции Грина, принципа максимума и энергетического метода проводится исследование порядка точности однородных схем в различных классах коэффициентов дифференциального уравнения.

В главе IV изучается разностная задача Дирихле для уравнения Пуассона в произвольной области, а также разностные аппроксимации для эллиптических операторов с переменными коэффициентами.

В главах V, VI дается изложение теории разностных схем на языке функционального анализа. Характерной чертой излагаемой теории разностных схем является то, что она позволяет не только дать обоснование имеющихся разностных схем (доказать их устойчивость, сходимость, получить оценку порядка точности и т. д.), но и позволяет сформулировать общие принципы построения разностных схем заданного качества для решения различных классов задач математической физики.

Разностные схемы трактуются как операторные или операторно-разностные уравнения с линейными операторами, зависящими от параметра (аналога шага сетки) и заданными на абстрактном линейном нормированном пространстве любого числа измерений.

Ключевым понятием теории разностных схем является устойчивость. Поэтому основное внимание в главе VI уделяется изучению устойчивости двухслойных и трехслойных разностных схем в гильбертовом пространстве. Найдены эффективные

достаточные условия и получены априорные оценки, выражающие устойчивость двухслойных и трехслойных схем.

Сформулированы и проиллюстрированы на ряде примеров правила проверки устойчивости конкретных разностных схем.

Достаточные условия устойчивости позволяют формулировать общий принцип регуляризации схем для получения разностных схем заданного качества.

В главе VII суммированы результаты многочисленных исследований, посвященных экономичным методам решения многомерных задач математической физики. Экономичные схемы для нестационарных задач делятся на две группы:

1) факторизованные схемы, обладающие аппроксимацией в обычном смысле,

2) аддитивные схемы, которые представляют собой систему простых промежуточных схем, осуществляющую переход со слоя на слой и аппроксимируют исходное дифференциальное уравнение в суммарном смысле.

Для каждого типа схем указаны методы исследования аппроксимации и устойчивости.

В главе VIII дано изложение итерационных методов решения уравнений где А — линейный (не обязательно самосопряженный) оператор в гильбертовом пространстве.

Теория итерационных методов трактуется как раздел общей теории устойчивости операторно-разностных схем (двухслойных и трехслойных). Основное внимание уделяется получению эффективных оценок скорости сходимости итераций и выбору оптимальных параметров. В § 1 гл. VIII дано изложение методов переменных направлений для решения разностной задачи Дирихле и указаны оптимальные наборы итерационных параметров.

Мы ограничились, в основном, изложением теории разностных схем для линейных уравнений. В этом случае теоретическое исследование можно провести с достаточной полнотой. В тексте приведены некоторые схемы для квазилинейных уравнений параболического типа.

В конце книги дан список литературы, не претендующий на полноту, но позволяющий читателю получить более полное представление об объектах и методах исследований, проводившихся большим числом авторов.

В основу книги положены лекции, читавшиеся автором в 1960-1970 гг. в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова для студентов физического и механико-математического факультетов. При написании текста использовался также конспект лекций в Летней школе по численным методам в г. Киеве (1966). Эти лекции были изданы на ротапринте в 1969 г. (А. А. Самарский, Лекции по теории разностных схем, издание Вычислительного центра АН СССР, Москва, 1969 г.).

Считаю приятным долгом выразить благодарность моему учителю Андрею Николаевичу Тихонову, многолетняя совместная работа с которым способствовала определению содержания и характера изложения теории разностных схем. С признательностью отмечаю помощь, которую оказали при оформлении конспекта лекций в Летней школе В. Б. Андреев, А. В. Гулин, Л. М. Дегтярев, Т. С. Иванова, И. Н. Молчанов, Ю. П. Попов, В. Г. Приказчиков, А. П. Фаворский, И. В. Фрязинов. Глубокую благодарность выражаю А. В. Гулину и И. В. Фрязинову за большую помощь, оказанную ими при подготовке к печати этой книги,

А. Самарский

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ, ПРИНЯТЫЕ В КНИГЕ

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление