Главная > Обработка сигналов, моделирование > Статистическая теория обнаружения сигналов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. Бинарная система связи

Простая система связи должна быть спроектирована так, чтобы она допускала передачу сообщений, закодированных с помощью бинарных символов, которые мы обозначим и Символ передается посылкой импульса в течение интервала длиной сек; представляется отсутствием импульса в течение того же интервала. Для простоты можно предположить, что импульс является прямоугольным и длится сек. В течение каждого интервала импульс или посылается, или не посылается. Последовательность единиц и нулей, переданных таким образом, и составляет сообщение. Предполагается, что символы статистически независимы и в сообщение не включается ничего избыточного для целей контроля. Относительные частоты С и знаков и соответственно известны. Источник сообщений выдает информацию с максимальной скоростью, когда

Фиг. 4.5. Решение интегрального уравнения.

Импульсы, посланные по проводной линии, искажаются из-за ее емкости и индуктивности. Линия является линейным фильтром. Для простоты можно определить ее коэффициент передачи формулой соответствующей импульсной характеристике Постоянной задержкой передачи и постоянным ослаблением в линии, без ограничения общности нашего рассмотрения, можно пренебречь. При этих предположениях переданный прямоугольный импульс высотой а появляется в приемнике в виде

На каждый принятый импульс оказываются наложенными затухающие "хвосты" всех предыдущих импульсов.

Шум состоит частично из белого шума приемника, а частично из шума, пришедшего из линии. Последний может считаться возникшим из белого и, следовательно, имеющим спектр мощности, пропорциональный -квадрату модуля коэффициента передачи линии (2.26).

Таким образом, полный спектр мощности на клеммах приемника равен

а его автоковариация выражается формулой

в которой измеряет относительную величину окрашенного шума. Выражения использованы только в качестве примеров; общая схема, данная ниже, может применяться к любым формам сигнала и функции автоковариации шума.

В конце каждого интервала длиной должно быть принято решение, какой из двух сигналов, или был послан в этом интервале. Принятие этого решения усложняется из-за присутствия хвостов предыдущих импульсов. Если отношение сигнал/шум велико, можно предположить, что решения, принятые относительно предшествующих импульсов, правильны. Эффект от действия этих импульсов может быть вычислен и использован для корректирования

критического уровня для очередного решения. Но если отношение сигнал/шум мало, предыдущие решения могли быть ошибочными и проистекающая отсюда неточность расчета критического уровня может явиться причиной того, что очередное решение будет неправильным.

Чтобы найти лучший метод принятия решения, применим статистическую теорию решений. Наблюдатель должен решить, был ли последний посланный символ или на основе сигнала наблюдавшегося на входе приемника в течение последних интервалов, и принимая в расчет все возможных выборов символов, посланных перед этим. Целое число зависит от длительности времени, в течение которого спадающий хвост еще достаточно велик. Если полоса пропускания системы не очень мала обычно можно принять равным 2 или самое большее 3. Наблюдатель вычисляет коэффициент правдоподобия, который равен отношению двух функций плотности вероятностей того, что система образцов входного сигнала получена при гипотезе (последний символ был и что та же система образцов получена при гипотезе (последний символ был

Пронумеруем комбинаций предшествующих символов с помощью индекса Эти комбинации могут быть расположены в любом фиксированном порядке. Пусть будет принятым сигналом для сообщения из символов, последний символ которого и пусть — сигнал для сообщения с последним символом Например, таблица сообщений для может быть такой:

Априорная вероятность сообщения

где число нулей в сообщении (без учета последнего символа, о котором должно быть принято решение).

В написанной выше таблице приведены значения для принятого в ней порядка сообщений.

Рассмотрим решение, которое должно быть принято в момент времени т. е. в интервале наблюдения

Вместо того чтобы производить рассмотрение по способу, описанному в подразделе (в) разд. 3, составляя функцию распределения по конечной системе образцов и затем переходя к пределу при используем асимптотическую форму функции распределения, подобную (4.57). Верхний предел интегрирования теперь меняется с на При гипотезе (последний принятый символ есть функция распределения для образцов входного сигнала в интервале наблюдения выразится формулой

в которой суммирование нужно производить по от 1 до принимая во внимание все возможные комбинации ранее принятых символов. Ядро и) в этой формуле есть решение интегрального уравнения

Подобная же функция распределения получается для гипотезы при замене всюду на Коэффициент правдоподобия запишется как отношение этих функций, нормирующий множитель сокращается, и при переходе к пределу при бесконечном числе образцов получается точный результат. Члены в числителе и знаменателе, содержащие произведение сокращаются и остается

выражение, которое может быть записано в виде

В этом выражении решения интегральных уравнений

а постоянные даются выражением

Функции соответствуют решению интегрального уравнения в простой задаче обнаружения разд. 3, а постоянные функции (отношению сигнал/шум в этой задаче). Величина

является сигналом в момент времени на выходе фильтра, согласованного с сигналом когда сигнал на его входе равен Импульсная характеристика этого фильтра

Аналогично величина

является сигналом в конце интервала наблюдения на выходе фильтра, согласованного с сигналом соответствии с формулой (4.84) коэффициент правдоподобия можно получить пропусканием выходных сигналов этих фильтров через нелинейные устройства с экспоненциальной зависимостью между входным и выходным напряжениями. Напряжения на выходе этих устройств умножаются на весовые коэффициенты и складываются. Сумма при делится на сумму при Если применяется байесов критерий и штрафы за ошибки в символах и равны, коэффициент правдоподобия сравнивается с величиной Если принимается решение, что последний переданный символ был а если что последний символ был или, иначе, система может вычислять логарифмы числителя и знаменателя выражения (4.84), вычитать один из другого и сравнивать разность с При использовании найденных согласованных фильтров решение принимается оптимальным способом в конце каждого импульсного интервала длительностью Фильтры учитывают только входное напряжение за прошедших, интервалов, так как все импульсные характеристики равны нулю для

Сигналы составлены из импульсов, начинающихся в определенных точках, зависящих от расположения нулей и единиц в сообщении. Решение может быть представлено в виде такой же суммы. Поэтому согласованные фильтры для различных сообщений-сигналов могут быть построены в виде наборов из системы специальных фильтров, каждый из которых спроектирован для одиночного импульса, появляющегося в одном из предыдущих интервалов. Пусть такой фильтр с импульсной характеристикой согласован для оптимального обнаружения импульсного сигнала начавшегося в предыдущем интервале при отсутствии всех других импульсов. Эта импульсная характеристика будет решением интегрального уравнения

в котором сигнал, начинающийся при когда передавался одиночный символ Для прямоугольного передаваемого импульса сигнал дается формулой Интегральное уравнение для импульсной характеристики фильтра может быть также записано в виде

Фильтры, согласованные с различными могут строиться следующим образом. Если сообщение содержит сигналов фильтр, согласованный с состоит из параллельных фильтров с одного для каждого сигнала в сообщении. Фильтр с характеристикой используется, когда появляется на месте, соответствующем предшествующему интервалу. Фильтр, согласованный с состоит из таких же фильтров и одного дополнительного с импульсной характеристикой соединенного параллельно с остальными. Из приведенной выше таблицы для случая видно, что фильтр, согласованный с состоит из фильтров соединенных параллельно, а с согласован фильтр Фильтра для сообщения нет. Вместо него, согласно (4.84), к знаменателю в коэффициенте правдоподобия должна быть прибавлена величина Интегральное уравнение для было решено в разд. 4 для иллюстративных целей. Другие уравнения (4.88) могут быть решены тем же методом, но с затратой большего труда.

На фиг. 4.6 показана функциональная схема рассмотренной системы обнаружения, использующей два предшествующих импульсных интервала Блоки с обозначением образуют экспоненциальную функцию напряжений на входе. Следующие за ними блоки вводят весовые множители Блоки дают логарифм напряжения на входе. Два логарифма вычитаются один из другого. В "Регистраторе" эта разность в конце каждого интервала

наблюдения сравнивается с Если разность больше, регистратор указывает если меньше - "О". Такая система по сравнению со всеми системами, учитывающими два предшествовавших импульсных интервала, в большой последовательности символов будет давать минимальное число ошибок. При увеличении количество ошибок уменьшается.

Фиг. 4.6. Бинарная система связи.

Система, дающая еще меньшее количество ошибок, может быть получена при задержке решений о переданном символе на некоторое число интервалов, используя, таким образом, дополнительную информацию о входном напряжении. Длина интервала наблюдения была бы при этом равна Принятие решения могло бы основываться на коэффициенте правдоподобия такого же рода, как и в формуле (4.84). Было бы только необходимо учесть все возможные комбинации символов также в интервалах, следующих за интервалом, о котором принимается решение. Для всех таких систем вероятности ошибок крайне трудно вычислить вследствие нелинейного характера операций, производящихся над входным сигналом.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление