Главная > Обработка сигналов, моделирование > Статистическая теория обнаружения сигналов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Последовательная проверка гипотез

В предыдущем разделе предполагалось, что в эксперименте, проводимом для выбора между двумя гипотезами число измерений, которые необходимо произвести, заранее фиксировано. Но когда стоимость каждого измерения значительна, для наблюдателя может оказаться выгодным оставить вопрос о числе измерений открытым и считать его достаточным, только когда он убедится в правильности одной из гипотез. Эта процедура известна под названием последовательного испытания, теория которого была развита Вальдом [б]. После каждого измерения наблюдатель принимает одно из трех промежуточных решений: 1) принять гипотезу принять гипотезу или 3) произвести следующее измерение. Как должны приниматься эти промежуточные решения? На любой стадии испытания они, очевидно, будут зависеть от результатов уже выполненных измерений.

В "Последовательном анализе" Вальда [5] наблюдатель - прежде всего определяет приемлемые значения вероятности ошибок первого и второго рода. Эти вероятности зависят от цен ошибок и последующих неправильных действий. По результатам первого измерения наблюдатель вычисляет коэффициент правдоподобия где функции распределения плотности вероятности результата этого измерения х. Полученное значение сравнивается с каждой из двух величин Если испытания прекращаются и наблюдатель решает в пользу гипотезы При испытания прекращаются и он выбирает Если же наблюдатель делает второе измерение, вычисляет новый коэффициент правдоподобия и повторяет то же сравнение с порогом. После измерений, дающих значения коэффициент правдоподобия

Если выбирается гипотеза при гипотеза а если делается измерение. Пределы А к В должны быть выбраны таким образом, чтобы вероятность того, что будет больше А, когда справедлива гипотеза равнялась а вероятность того, что при гипотезе величина меньше В, равнялась Вообще определение этих пределов представляет трудную математическую задачу. Однако Вальд показал, что они подчиняются следующим неравенствам:

Для простоты предположим, что измерения статистически независимы и две функции плотности распределения вероятностей результатов х одинаковы для каждого измерения. Удобно иметь дело с логарифмом коэффициента правдоподобия, который может быть записан в виде

где результат измерения. Величины являются случайными переменными с функциями распределения при гипотезах соответственно, такими, что когда связаны соотношением (3.28). Полезно рассматривать как положение частицы, которое изменяется на величину когда выполняется следующее измерение. Говорят, что частица совершает "случайное блуждание" с дискретным шагом. Длина каждого шага z управляется одной из функций распределения или в зависимости от того, какая гипотеза правильна. Когда точка проходит в область ниже границы наблюдатель выбирает гипотезу а когда точка проходит в область выше он выбирает . В обоих случаях говорят, что испытание закончено. Показано, что для большого класса функций распределения одна из границ будет безусловно пересечена, т. е. при при любой из гипотез. Вероятность, что пересекается верхняя граница при гипотезе равна а вероятность, что пересекается нижняя граница когда имеет место гипотеза

равна Можно, вывести интегральное уравнение, из решения которого эти вероятности могут быть вычислены [6], так что могут быть определены и соответствующие пределы Однако вообще эти уравнения решить трудно.

Если шаги в среднем достаточно малы по сравнению с расстоянием между пределами, число измерений, которые требуется произвести до окончания испытания, будет велико. Вальд показал, что в этом случае хорошее приближение получается при использовании значений даваемых знаком равенства в формуле (3.27). Важным параметром для суждения о ценности метода последовательных испытаний является среднее число измерений требующееся для того, чтобы испытание закончилось. При указанной апроксимации это среднее число при гипотезах дается соответственно равенствами

где

Эти формулы справедливы, когда математическое ожидание величины z отлично от нуля. Если математическое ожидание стремится к нулю, применяется другая формула, включающая дисперсию

Если предполагается произвести статистическое испытание, включающее фиксированное число измерений с применением критерия Неймана — Пирсона для данной вероятности ошибки первого рода, можно вычислить размер выборки необходимый для достижения малой вероятности ошибки второго рода Показано, что это число всегда

больше среднего числа измерений [формула (3.29)] при последовательных испытаниях с такими же значениями Последовательное испытание в этом смысле является более эффективным. Но необходимо помнить, что число требуемых измерений при последовательном испытании есть случайная переменная и оно может оказаться много больше, чем математическое ожидание этого числа.

Применим последовательный метод ко второму примеру предыдущего раздела, в котором наблюдатель хочет решить, который из двух источников шума, имеющих среднеквадратичные значения производит данное принятое шумовое напряжение. В предположении, что измерения статистически независимы, размер шага случайного блуждания в соответствии с (3.25) и (3.28) равен

Эта величина вычисляется после измерения напряжения и прибавляется к предыдущему полному На этапе, когда сумма проходит ниже испытание кончается и наблюдатель решает в пользу гипотезы (источник имеет среднеквадратичное напряжение Если же сумма превосходит он выбирает гипотезу Математическое ожидание числа измерений при обеих гипотезах приближенно дается соотношением (3.29) с

Чем ближе среднеквадратичные значения тем больше в среднем требуется измерений, чтобы достичь определенных вероятностей ошибок.

Приведенное выше описание метода последовательного анализа основывалось на предположении, что все соображения о цене учтены при выборе вероятностей ошибок Задача заключалась в отыскании статистического испытания, дающего наименьшее возможное среднее число измерений, требующихся для достижения этих вероятностей. Однако, если дана матрица цен С (3.7) и цена каждого

измерения, а также известны априорные вероятности двух гипотез, можно определить последовательное испытание, дающее минимум среднего риска при большом количестве измерений. Блекуэлл и Гиршик [14] дали теоремы для случая, когда последовательные измерения статистически независимы и цена измерения постоянна. Они вывели формулы, позволяющие вычислить границы для коэффициента правдоподобия, которые в этом случае неизменны от одного измерения к другому. При этом требовалось применить решение задачи случайного блуждания. Метод последовательного испытания в дальнейшем мы рассматривать не будем. Отметим только, что так же, как в ранее описанных методах испытания, решение зависит от величины коэффициента правдоподобия Применение последовательного анализа к задаче обнаружения сигналов было рассмотрено Бусгангом и Мидлтоном [16].

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление