3.3.7. Инвариантность градиента, дивергенции, вихря.

Докажем инвариантность дивергенции. Имеем (формула (49))

Введем новые оси координат, и пусть дивергенция, полученная в новой системе координат. Так как скалярное произведение а не зависит от выбора системы координат, то для любого объема имеет место равенство

или

Если в какой-либо точке отличается от то эту точку можно окружить объемом, внутри которого была бы не равна нулю и сохраняла знак (вследствие непрерывности частных производных вектора а). Следовательно, для этого объема интеграл

был бы не равен нулю, что противоречит Поэтому для любых осей координат т. е. скаляр инвариантен относительно выбора координатной системы.

Пользуясь формулами (48) и (50), можно провести аналогичное доказательство инвариантности векторов и относительно выбора осей координат.