Главная > Математика > Математика для электро- и радиоинженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.3.4. Смысл скаляра div a.

Из формулы Остроградского следует, что полный поток вектора а через замкнутую поверхность, ограничивающую бесконечно малый объем равен Следовательно, дивергенция, вычисленная в точке векторного поля, приближенно равна потоку, выходящему из единицы объема, окружающего эту точку. Точное значение дивергенции векторного поля а может быть определено следующим образом:

Рассмотрим движение жидкости. Пусть ее плотность и скорость движения а — соответственно скалярная и векторная функции точки пространства и времени Предположим, что 5 — произвольная поверхность в пространстве, заполненном жидкостью, и орт внешней нормали к этой поверхности. Масса жидкости, проходящая в направлении за единицу времени через поверхность равна

Если поверхность замкнута и ограничивает объем z, то полученная формула дает массу жидкости, вытекающую за единицу времени из z. С другой стороны, увеличение массы жидкости внутри объема за единицу времени равно

Применяя теорему Остроградского, получим

Если предположить, что внутри z отсутствуют источники и стоки, то

Это равенство справедливо для любого объема рассматриваемого поля. В силу непрерывности функций и их производных (ср. п. 3.3.7)

Уравнение (51) называется уравнением неразрывности жидкости. Если жидкость несжимаемая, то

Если, кроме того, скорость а равна производной от скалярного потенциала , а плотность постоянна, то уравнение неразрывности принимает вид

Это уравнение можно непосредственно применить к электрическому полю, если вместо плотности жидкости взять плотность электрических зарядов, движущихся со скоростью а.

Введем обозначения: — температура, — плотность, коэффициент внутренней теплопроводности и с — удельная теплоемкость тела в рассматриваемой точке (скалярные функции). Количество тепла, вытекающего через поверхность равно

С другой стороны, увеличение количества тепла внутри равно

Отсюда по аналогии с предыдущим случаем получаем

Это уравнение теплопроводности.

В случае однородной среды и при стационарном распределении температуры уравнение теплопроводности принимает вид

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление