Главная > Математика > Математика для электро- и радиоинженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.2.18. Векторный потенциал.

Любая векторная функция точки для которой дивергенция тождественно равна нулю, может рассматриваться как вихрь некоторого вектора.

Действительно, пусть задан вектор причем

Отыскание вектора удовлетворяющего условию сводится к решению системы уравнений:

Таких векторов существует бесконечно много. Выберем один из них при условии, что В этом случае равенства (42) и (43) переходят в

Из равенства (45) получаем

В силу последнего соотношения равенство (44) переходит в уравнение относительно

Дифференцируя равенство (46) по у, найдем

Используя это соотношение и равенство (47), продифференцированное по z, имеем

или

Эта формула справедлива в силу предположения, что .

Таким образом, соотношение (44) является следствием формул (45), (46) и уравнения Иначе говоря, равенства (45) и (46) при условии определяют вектор такой, что

Пусть теперь вектор с удовлетворяет уравнению Тогда

или

т. е.

Следовательно, вектор с определяется лишь с точностью до градиента произвольной скалярной функции точки Это соотношение очевидно, так как к полю векторов с, для которых можно добавить поле любых других векторов с нулевым вихрем. Из бесконечного множества этих векторов выберем вектор, дивергенция которого равна нулю. Обозначим его через Вектор можно представить в виде суммы определенного выше вектора и градиента произвольной скалярной функции Имеем

Из последнего равенства следует

Так как то определяется из уравнения Итак, если то существует такой вектор что Вектор называется векторным потенциалом а, а про вектор а говорят.

что он равен производной от векторного потенциала Вектор а, для которого называется соленоидальным вектором. Поле векторов с нулевой дивергенцией называется соленоидальным или лапласовым (магнитное поле системы токов, элементарные поля которых задаются законом Лапласа, относится к рассмотренному типу полей).

Замечание. Векторный потенциал определяется неоднозначно. В самом деле, рассмотрим вектор

Имеем

Так как то при любом Условие

выполняется, если Следовательно, векторный потенциал определяется с точностью до градиента скалярной функции, удовлетворяющей уравнению Лапласа.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление