Главная > Математика > Математика для электро- и радиоинженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Функции точки

В математической физике часто рассматривается величина, которая зависит не только от положения точки, т. е. от ее координат х, у, z. но и еще от какой-либо другой переменной, в большинстве случаев от времени. Если рассматриваемая величина является числом (вектором), то принято говорить, что речь идет о скалярной (векторной) функции точки. В этих случаях говорят также, что в рассматриваемой области пространства задано скалярное или векторное поле.

Например, плотность заряда в различных точках изолированного наэлектризованного тела представляет собой скалярную функцию точки;

электрическое поле, которое создается этими зарядами в различных точках тела, представляет собой векторную функцию точки. Электрические заряды создают скалярное поле плотности и векторное поле электрических сил. Если электрические заряды изменяются в зависимости от времени, то скалярное и векторное поля являются не только функциями координат рассматриваемой точки, но также и функциями времени.

Наиболее важные поля характеризуют следующие три функции:

1) градиент — векторная функция, аргументом которой является скалярная функция точки;

2) дивергенция — скалярная функция, аргументом которой является векторная функция точки;

3) вихрь — векторная функция, аргументом которой является векторная функция точки.

3.2.5. Градиент.

Дана скалярная функция Градиентом этой функции называется вектор с координатами

Он обозначается через Следовательно, согласно определению можно написать

Пусть бесконечно близкие точки поверхности (рис. 3.10). Скалярное произведение равно Действительно,

Отношение называется производной скалярной функции в точке по направлению

Рис. 3.10.

Рис. 3.11.

Формула показывает, что эта производная равна проекции вектора на направление так как

3.2.6. Нормальная производная.

Рассмотрим нормаль в точке к некоторой поверхности проходящей через эту точку (рис. 3.11). Производная от в точке по направлению нормали называется нормальной производной от для поверхности Если — единичный вектор нормали, то эта производная равна т. е. проекции вектора на нормаль

3.2.7. Поверхности уровня.

Поверхности уровня определяются равенством Уравнение поверхности уровня, проходящей через точку имеет вид

Оно геометрически представляет одну поверхность, если функция однозначна, что почти всегда и встречается в физике. Вектор в каждой точке нормален к рассматриваемой поверхности уровня, проходящей через эту точку.

Действительно, формула (18) при любом перемещении точки дает Так как на поверхности уровня неизменно, то при любом перемещении точки по этой поверхности Аналогичное заключение можно сделать в случае, когда точка перемещается по касательной плоскости, проведенной к поверхности уровня в этой точке. Следовательно, перпендикулярны друг другу. Так как вектор произвольный вектор на касательной плоскости, проведенной в точке к поверхности уровня, то высказанное утверждение доказано.

3.2.8. Смысл вектора grad f.

Вектор полностью описывает поведение функции в окрестности рассматриваемой точки . В частности, самое быстрое изменение происходит при перемещении по нормали к поверхности уровня. Это максимальное изменение определяется по величине и направлению вектором

Для того чтобы представить поле вектора построим поверхности уровня

где а с — достаточно малая постоянная.

Рассмотрим две поверхности уровня и , соответствующие двум значениям Пусть точка поверхности и расстояние от до Вектор будет в точке нормален к направлен в сторону возрастающих и по модулю приближенно равен Следовательно, будет тем больше, чем ближе друг к другу рассматриваемые поверхности.

Замечание. Как показывает формула вектор не зависит от выбора осей (см. также п. 3.3.7).

3.2.9. Силовые линии.

Кривая, направление которой в каждой точке совпадает с направлением вектора соответствующего этой точке, называется силовой линией. Векторное уравнение силовой линии: Ее скалярные уравнения:

Рис. 3.12.

Следовательно, силовые линии представляют собой ортогональные траектории к поверхностям уровня:

Силовая трубка — это поверхность, описанная силовой линией, перемещающейся вдоль замкнутого контура С (рис. 3.12).

3.2.10. Градиент сложной скалярной функции.

Если скалярная функция является функцией нескольких скаляров которые сами представляют собой функции координат то имеет место формула:

Действительно,

но

Отсюда в силу произвольности вектора вытекает справедливость формулы (19).

Сравнив эту формулу с формулой для полного дифференциала убедимся, что знак ведет себя точно так же, как знак дифференциала.

Применяя формулу (19) к функциям получим

Далее, из соотношения следует, что уравнение

равносильно уравнению

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление