Главная > Математика > Математика для электро- и радиоинженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.1.13. Векторное произведение.

Векторным произведением двух векторов называют вектор с, длина которого равна и который перпендикулярен обоим векторам с и причем векторы и с расположены положительно.

Векторное произведение обозначают так:

Замечание. Если ни один из векторов с и не равен нулю, то выражение означает, что линии действия векторов параллельны, так как

Модуль вектора с численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах, эквиполентных проведенных через любую точку О пространства.

Это замечание позволяет дать более наглядное определение векторного произведения. Пусть два вектора. Проведем через точку О векторы и эквиполентные с и (рис. 3.9). Тогда векторное произведение с векторов с и будет определяться следующим образом.

Модуль вектора с равен числу, измеряющему площадь параллелограмма Линия действия этого вектора перпендикулярна плоскости а направление его таково, что поворот на угол, не превышающий совмещающий происходит в положительном относительно с направлении.

Рис. 3.9.

Использование векторного произведения двух векторов и позволяет легко определить алгебраическую площадь треугольника Ориентируем плоскость иначе говоря, выберем в этой плоскости положительное направление вращения. Алгебраическая площадь треугольника равна половине алгебраической длины векторного произведения отсчитанной вдоль оси, перпендикулярной плоскости и ориентированной таким образом, чтобы выбранное направление вращения было для нее положительным (см. п. 3.1.4).

Векторное произведение в декартовых координатах. Так как вектор с перпендикулярен плоскости а модуль его равен площади параллелограмма то проекция векторного произведения с на равна площади проекции параллелограмма на Следовательно,

По аналогии находим

т.е.

Это выражение можно записать в более симметричной форме:

Перечислим основные свойства векторного произведения.

Эта операция антикоммутативна, т. е. . В самом деле, обе тройки векторов образуют противоположно расположенные трехгранники (см. п. 3.1.5).

Далее, векторное произведение не ассоциативно. Действительно, равенство вообще говоря, неверно, так как направления векторов, записанных в левой и правой частях этого соотношения, отличаются друг от друга. Однако векторное произведение — операция дистрибутивная, т. е. справедлива формула

Эта формула равносильна соотношению

Замечание 1. Векторные произведения ортов координатных осей соответственно равны:

Замечание 2. Момент вектора а относительно точки О равен векторному произведению Здесь вектор, имеющий начало в точке О, а конец — в любой точке на линии действия вектора а.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление