Главная > Математика > Математика для электро- и радиоинженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.1.6. Изучение разложения в ряд Фурье вблизи точки разрыва. Явление Гиббса.

Пусть функция, имеющая разрыв в точке (см. рис. 2.5):

Введем в рассмотрение функцию, имеющую значение — 1 при — при Ряд Фурье для будет

Функция может быть записана в виде

где функция, уже не имеющая разрыва при

Поэтому для изучения особенности разложения вблизи достаточно рассмотреть поведение вблизи нуля.

При имеет своим значением ±1 в зависимости от того, как х стремится к нулю: принимая положительные или отрицательные значения. Сумма же ряда Фурье для при стремится к единственному значению — нулю. В этом нет ничего удивительного, так как ряд справа — непрерывная функция х и не может иметь двух разных значений при значении переменной

Рассмотрим первые членов разложения

Начертим кривую, представленную этим рядом. Для этого изучим производную

Если, в формуле (1) п. 1.1.13 положим то

Следовательно,

Максимумы и минимумы при изменении х от до определяются равенством откуда

Рис. 2.6.

Кривая совершает ряд колебаний вокруг ординаты (рис. 2.6). Нетрудно заметить, что первый максимум (при ) наибольший. Его ордината равна

где мы обозначили

При больших значениях (соответственно малых можно заменить Предел ординаты первого максимума при будет, следовательно,

вместо того, чтобы быть равным единице (символ обозначает интегральный синус — см. п. 7.2.1).

Таким образом, функция, представленная тригонометрическим рядом, переходя через разрыв, делает скачок, примерно на 18% больший, чем исходная функция. Это явление было обнаружено в 1899 г. американским физиком Гиббсом. Оно иллюстрируется рис. 2.7, где приведены графики функций сумм первых членов разложения в ряд Фурье функции в промежутке

Рис. 2.7.

Из-за явления Гиббса представление разрывных функций рядом Фурье в окрестности точек разрыва не вполне удовлетворительно

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление