Главная > Математика > Математика для электро- и радиоинженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.1.4. Интегрирование и дифференцирование.

Если функция удовлетворяет условиям, поставленным в начале главы, то ряд Фурье для интеграла от получается почленным интегрированием ряда Фурье для функции Ряд для производной может быть получен из ряда для почленным дифференцированием. Это верно, если только ряд для является сходящимся, что бывает не всегда.

Рис. 2.3.

Пример. Требуется разложить в ряд Фурье в промежутке функцию равную —1 при при Из графика функции (рис. 2.3) видно, что точка О является центром симметрии. Следовательно,

Имеем

т. е.

Отсюда получаем ряд

Производная заданной функции повсюду равна нулю, кроме твчки где она обращается в бесконечность. Однако дифференцирование полученного ряда приводит к расходящемуся ряду.

Первообразная функция для функции представляется сходящимся рядом

График функции проходит (если константу справа счвдгать равной нулю) На рис. 2.3 он показан пунктиром. Положим в предыдущем разложении Получим формулу

Замечание 1. Если непериодическая функция, то ряд Фурье совпадает с самой функцией только в промежутке от 6 до Если

имеет период то ряд Фурье равен этой функции для всех значений х от до .

В рассмотренном примере разложения для у и V представляют собой ступенчатую и пилообразную функции, графики которых указаны на рис. 2.4.

Рис. 2.4.

Замечание 2. В предыдущем примере функция разрывна — коэффициенты ее ряда Фурье имеют вид Функция непрерывна, но ее первая производная разрывна — коэффициенты ряда для имеют вид Нетрудно обобщить это правило и показать, что если дана периодическая функция, непрерывная вместе с ее первыми производными, и если ее производная разрывна, то коэффициенты ее ряда Фурье будут порядка

Пример. Разложим в ряд функции от до те не целое число).

Функция четная, поэтому все коэффициенты равны нулю. Имеем

откуда

Приложение. Положим в предыдущей формуле и обозначим через х. Разделив на тех, получим

или

Если х заключен в промежутке то общий член ряда внутри квадратных скобок меньше общего члена ряда

Следовательно, ряд внутри квадратных скобок сходится равномерно, и можно проинтегрировать обе части равенства от нуля до х. Освобождаясь от множителя и учитывая, что имеем

или

Символ означает бесконечное произведение. В данном случае это произведение биномов вида пробегает все целые значения. Отсюда получаем формулу

Если х придать значение получим формулу Валлиса:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление