Главная > Математика > Математика для электро- и радиоинженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

10.7.2. Графическое решение дифференциальных уравнений второго порядка способом радиусов кривизны.

Рассмотрим дифференциальное уравнение, решенное относительно

Рис. 10.15.

Делим обе части на Тогда получаем

Мы определили радиус кривизны интегральных кривых. Он равен

Отсюда вытекает следующий способ графического решения уравнений. Пусть при функция у и ее производная у принимают соответственно значения Это означает, что из всего пучка интегральных кривых мы хотим начертить такую, которая проходит через точку и имеет в этой точке крутизну Пусть будет дана точка и касательная (рис. 10.15). Радиус кривизны интегральной кривой равен в этой точке Начертим этим радиусом дугу окружности, соприкасающейся с искомой кривой, и примем, что в промежутке эта.

дуга совпадает с интегральной кривой. На дуге возьмем точку с абсциссой Ордината ее равна а крутизна касательной в этой точке равна

Рис. 10.16. (см. скан)

Радиусом, равным начертим дугу окружности, проходящей через точку и касательной к Мы последовательно вычерчиваем таким образом дуги окружностей, практически сливающиеся с искомой интегральной кривой, если последовательные интервалы достаточно малы.

Пример. Попробуем начертить одну из интегральных кривых уравнения

Имеем

Начертим проходящую через точку кривую, имеющую в этой точке касательную, наклон которой к оси х равен 45°, т. е. Получаем кривую, изображенную на рис. 10.16.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление