Главная > Математика > Математика для электро- и радиоинженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

10.6.9. Способ Пикара.

Дано дифференциальное уравнение, решенное относительно

с начальным условием, для Проинтегрировав от до х, получаем

или

где у — неизвестная функция от х, находящаяся также под знаком интеграла. Будем решать это интегральное уравнение последовательными приближениями.

За первое приближенное значение неизвестной функции примем

Подставив это значение правую часть интегрального уравнения (104), получим

Все функции принимают значение при и могут рассматриваться как все более точные приближения к

Сходимость получается в предположении, что и непрерывны вблизи точки Рассмотренный способ, легкий изложении,

оказывается часто трудным для применения. Последовательные интегрирования могут быть очень сложными, а главное, сходимость в большинстве случаев очень медленная, что крайне неудобно при численных расчетах. Можно значительно улучшить этот способ, усовершенствовав исходную базу, иначе говоря, первое приближение. Действительно, принять за первое приближение — то же самое, что принять а это является очень грубым приближением. Чтобы иметь более точное первое приближение, разложим (как функцию аргумента в ряд Тейлора вблизи

Подставим это выражение в дифференциальное уравнение, пренебрегая остатком Тогда

Это — линейное уравнение, рассмотренное в п. 6.1.5. В нем

Если ввести решение, принимающее значение для в правую часть уравнения (104), получаем приближение, часто оказывающееся достаточным для большинства случаев.

Пример. Требуется решить дифференциальное уравнение

при начальных условиях В этом уравнении переменные разделяются, что позволяет найти точное решение Оно будет служить для проверки.

Применяем способ Пикара. Первое приближение равно Второе равно

затем

и

Заметим, что первые 4 члена совпадают с началом разложения в ряд Тейлора точного решения.

Применяем измененный способ Пикара. Имеем

откуда первое приближение получается из уравнения

иначе говоря,

Второе приближение будет

Сравниваем четвертое приближение второе приближение и точное решение у для Имеем

Из этого примера видно, что при использовании способа Пикара хорошее начальное приближение приносит значительную выгоду.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление