Главная > Математика > Математика для электро- и радиоинженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

10.6.4. Способ Адамса.

Предположим, как и раньше, что значения независимой переменной х находятся в арифметической прогрессии с разностью и пусть значение, принимаемое решением при Интегрируем (96) от до Тогда

Заменяем интерполяционным полиномом Ньютона по восходящим разностям:

при

Получаем

Если в выражении (98) остановиться на разности, пренебрегая разностью, то это сводится к тому, что заменяется параболой степени, проходящей через точек:

Способ Адамса состоит из двух этапов: прежде всего установление исходной базы, которая состоит из значений соответствующих и определенных возможно точнее известно). Далее экстраполяция, которая заключается в том, чтобы применять формулу (98), ограниченную разностью, последовательно для что дает для что дает Для простоты мы покажем сейчас подробно применение этого способа при Это очень распространенная степень приближения.

а) Установление исходной базы. Речь идет об определении Очень удобно пользоваться ранее изложенным решением с помощью ряда Тейлора, но можно также применять способ, при котором функция заменена полиномом Ньютона по нисходящим разностям:

Интегрируя уравнение (96), в котором заменена предыдущим полиномом, ограниченным четвертой разностью, получаем

(см. скан)

Можно улучшить значения у, вычислив затем разности и применяя предыдущие формулы по второму разу и т. д. до тех пор, пока результаты не станут повторяться.

б) Экстраполяция. Мы получим приближенное значение применяя формулу (98), ограниченную членом с для

Значения даны восходящими разностями таблицы для Нужно уточнить полученное значение Для этого с помощью вычисляют таблицу разностей. Пусть улучшенные разности этой таблицы. Имеем

где функция выражена через интерполяционный полином Ньютона по восходящим разностям.

Интегрирование дает для

При помощи этого улучшенного значения вычисляют новую таблицу разностей и т. д. до тех пор, пока не получатся два равных последовательных приближения.

Пример. Требуется численно решить дифференциальное уравнение

при начальных условиях с шагом

(см. скан)

(см. скан)

что дает улучшенные значения

Новое вычисление таблицы разностей функции / приводит к приближению, в точности повторяющему предыдущие значения, которые могут быть, следовательно, приняты за окончательную исходную базу. Переходим к экстраполяции. Из формулы (99) имеем

Отсюда получаем «новую таблицу разностей, ограниченную пятой разностью. Так как нам нужны лишь восходящие разности, то приведена только нижняя часть таблицы:

(см. скан)

Формула (100) дает в качестве первого улучшения

Новое вычисление таблицы разностей, основанное на этом значении в точности повторяет тот же результат. Значит, можно перейти теперь к вычислению

Заметив, что данное дифференциальное уравнение является линейным, мы можем точно вычислить решение, проходящее через точку Данное уравнение может быть записано в виде

откуда получаем искомое частное решение:

Точное вычисление у для различных значений х показывает, что апроксимации у верны до восьмого десятичного знака.

Замечание. В большинстве случаев не требуется вычислять такие далекие приближения, как в предыдущем примере. Либо значение бывает задано, и тогда можно позволить себе применять формулу апроксимации лишь при значении меньшем чем 4. При этом формулы будут соответствующим образом урезаны; этапы установления исходной базы сократятся, так же как и все вычисления, касающиеся разностей менее высокого порядка. Либо

не задается и можно выбрать его достаточно большим, чтобы сократить сумму вычислений, нужных для заполнения полного промежутка, в котором желательно знать у с заданным приближением. Можно также соединить оба способа действий удачным выбором Здесь трудно предписать твердые правила. Нужно самому заметить по мере вычислений момент, когда следует изменить значение либо путем удвоения, либо путем уменьшения вдвое, таким образом, чтобы получить при наименьшем количестве вычислений и с нужной точностью повторение последовательных приближений у.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление