Главная > Математика > Математика для электро- и радиоинженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

10.5.3. Формула Эйлера.

Рассмотрим тождество

Проинтегрируем последовательно по частям. Получаем

Применим формулу (64) к последовательным производным ограничив разложения членами, содержащими производную Умножив соответственно на получаем

Умножим равенство (64) на единицу, первое равенство второе равенство (65) на третье равенство (65) на нуль, четвертое на на и результаты сложим. В правой части полученной таким образом суммы коэффициент при будет равен нулю, коэффициент при равный также нулем. Легко показать, что коэффициент при равный

есть нуль. Действительно, вынося множитель получаем

т. е. в силу формулы (56), где взято

Это выражение равно нулю, как показывает формула (59). Поэтому результат сложения равен

По формуле (56) полином в квадратных скобках под знаком интеграла может быть написан в виде

Положим Тогда равенство (66) можно записать в виде

где

Выведем для две формулы, удобные для использования.

1. Известно, что сохраняет знак между и 1. Поэтому можно применить теорему о среднем и, обозначив через число, заключенное между и I, написать

Но согласно формуле (63) можно заменить на Так как сводится к

2. - наибольшее по абсолютной величине значение между и 1. Если сохраняет между постоянный знак, то теорема о среднем дает возможность написать

при

где обозначают два числа между и

Вводим значение данное уравнением (61). Тогда

Применяем формулу (67) последовательно к интервалам Положим

Складывая полученных выражений, получаем формулу Эйлера:

при

Это последнее выражение получаем из формулы (68), обозначив через абсциссы точек, заключенных в интервалах Если функция сохраняет постоянный знак в интервале то в силу формулы (69) можно написать

Существенное замечание. Так как числа Бернулли очень быстро возрастают вместе с то весьма важно заметить, что остаточный член вообще говоря, бесконечно возрастает вместе с если фиксировано. Но если стремится к нулю, а фиксировано, то быстро стремится к нулю. Формула Эйлера (70) представляет собой асимптотический ряд.

Пример. Требуется найти Результат известен заранее:

Делим промежуток интегрирования на шесть частичных интервалов и применяем формулу Эйлера при равном 3.

Вычислим сначала верхнюю границу совершенной ошибки. Так как последовательные производные сохраняют постоянный знак между 1 и 1,6, то следует взять в виде (72):

Применение формулы Эйлера дает

откуда

Замечание. Из предыдущего примера видно, что применение формулы Эйлера позволяет получить очень большую точность при приближенном вычислении определенного интеграла. Это, однако, верно при условии, что имеется возможность вычислить последовательные значения производных интегрируемой функции на концах промежутка интегрирования и, сверх того, для вычисления совершенной ошибки найти оценку производной высокого порядка внутри этого промежутка. Это, конечно, невозможно, если функция дана в эмпирической форме, и часто бывает затруднительно, если аналитическая форма интегрируемой функции сложна. Отсюда возникает необходимость установить некоторое количество формул достаточной точности, вводящих производные интегрируемой функции только в необязательный первый поправочный член.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление