Главная > Математика > Математика для электро- и радиоинженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

10.5.2. Полином Бернулли.

Обозначим через полином Бернулли степени. Мы определим его с помощью производящей функции

Имеем

Сравнив эту формулу с (55), получим

Если четное число, большее 2, то последний член равен

Если к — нечетное число, большее 1, то последний член равен

Полиномы Бернулли обладают следующим свойством: если, используя определяющую формулу (55), написать

то, разложив левую часть в степенной ряд и приравняв коэффициенты при

— в обеих частях, мы получим

Заменив последовательно z целыми числами и сложив полученные таким образом выражения, находим для считая

Разложив в ряд обе части тождества

и приравняв коэффициенты при в обеих частях, имеем

Из формул (56) — (58) получаем

Чтобы найти значение достаточно отыскать коэффициент при

в разложении производящей функции (55), где Имеем

Из разложения в ряд (53) находим искомый коэффициент

Производная полинома Бернулли порядка такова, что

Если то, так как разложение второго члена правой части (62) не содержит, согласно (53), членов нечетного порядка, большего 2, можно написать Следовательно,

Подобным же вычислением можно показать, что

Если то, приравняв коэффициенты при в обеих частях (62), получим, учитывая (53) и (55),

Теперь можно сделать следующие выводы о корнях Полином равный нулю при не обращается в нуль в интервале за исключением точки Действительно, если бы полином обращался в этом интервале в нуль два раза, то его производная обращалась бы в нуль по крайней мере три раза, а его вторая производная по крайней мере два раза. Иначе говоря, полином обращался бы в нуль по крайней мере два раза. Продолжая рассуждение до мы можем показать, что этот полином третьей степени два раза обращался

бы в нуль внутри промежутка а с учетом точек и -четыре раза, что невозможно.

Полином равный нулю при не обращается в нуль в интервале Действительно, если бы это было не так, то его первая производная обращалась бы в нуль в промежутке по крайней мере два раза. Но это невозможно в силу предыдущего рассуждения, так как Полином проходит через максимум при Первые полиномы Бернулли таковы:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление