Главная > Математика > Математика для электро- и радиоинженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

10.4. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Пусть функция задана таблично. Заменим ее интерполяционным полиномом. Дифференцирование этого полинома даст нам приближения для последовательных производных функции.

Будем всегда обозначать шаг интерполяции через начальное значение х через а и через и — переменную Дифференцирование интерполяционного полинома Ньютона по нисходящим разностям (формула дает

Если в этих выражениях то

В последней строчке запись дана в операционной форме. Она не должна вызывать трудностей.

Если в выражении (47) придавать и последовательно значения то легко получить

В формулах (47) и (48) используются разности на нисходящей диагонали, проходящей через Полезно привести соответствующие формулы, полученные из интерполяционного полинома Ньютона по восходящим разностям и интерполяционного полинома Стирлинга, где используются разности, расположенные соответственно на восходящей диагонали и по обеим сторонам горизонтали, проходящей через

Интерполяционный полином Ньютона по восходящим разностям дает

где индекс а равен показателю при

Точно Так же применение интерполяционного полинома Стирлинга дает

Пример. Вычислим производную для пользуясь таблицей разностей этой функции, приведенной в п. Здесь следует применить первую формулу (48), где используются разности, находящиеся на нисходящей диагонали, начиная с 0,515. Тогда

Точное значение равно

С помощью той же таблицы вычислим При этом следует применить первую формулу, полученную из полинома Стирлинга, где используются разности, находящиеся в непосредственной близости с горизонталью, проходящей через 0,518. Тогда

Точное значение у (0,518) равно

Замечание. В случае эмпирической кривой, где ординаты получаются с погрешностями, рассмотренные способы вычисления производных приводят часто к обескураживающим результатам. Можно сравнить численное разыскание производной функции, известной приближенно, с графическим проведением касательной к грубо начерченной кривой. Легко сообразить, что небольшое изменение формы кривой вблизи рассматриваемой точки значительно влияет на ход касательной, тогда как область, ограниченная кривой, меняется при этом очень мало.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление