Главная > Математика > Математика для электро- и радиоинженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

10.3.14. Приближение эмпирической функции линейной комбинацией показательных функций.

Пусть функция, данная значениями взятыми на равноотстоящих абсциссах

Пусть -линейная комбинация, ограниченная тремя показательными функциями (легко провести вычисление и для большего их числа). Определим 7 параметров при помощи критерия наименьших квадратов Имеем

Положим

Если бы функция совпадала с рассматриваемых точках, мы имели бы

Первая разность таблицы для дает

Исключаем из. этих уравнений. Тогда

Положим

Предыдущее уравнение принимает вид

Имеем систему из уравнений с тремя неизвестными. Мы получаем ее, придавая I значения Так как больше , то эта система несовместна. Если в нее подставить какую-нибудь систему значений то результата подстановки равны не нулю, а соответственно Определим систему значений таким образом, чтобы сумма квадратов ошибок

была минимальной. Тогда

Пусть значения, полученные из трех предыдущих уравнений. Тогда - корни уравнения

Отсюда

Сумма квадратов ошибок будет

Если уравнение по и имеет сопряженные комплексные корни, представление через комбинацию экспонент не подойдет. Тут следует испробовать комбинацию из экспоненты и экспоненты, умноженной на тригонометрическую функцию.

Так как величины известны, то при обозначениях получаем для определения следующую систему из несовместных уравнений:

Тогда сумма квадратов ошибок равна

Отсюда получается система

определяющая с суммой квадратов ошибок, равной

Пример. Эмпирическая функция задана таблицей

Из природы рассматриваемого явления следует, что для приближения рассматриваемой функции следует взять формулу типа

Так как имеется только одна экспонента, то суммирование в уравнении, служащим для определения (3, должно простираться от до Имеем

откуда при сумме квадратов ошибок

Применение способа наименьших квадратов к 10 уравнениям

дает систему

иначе говоря,

Отсюда

при сумме квадратов ошибок

Следовательно, приближенная формула есть

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление