Главная > Математика > Математика для электро- и радиоинженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

10.3.4. Интерполяционный полином Ньютона.

Напишем полином в виде

Дадим последовательно величине х значения Тогда

Отсюда

Положим . Тогда полином (22) принимает вид

Напишем полином в виде

Определим коэффициенты условием, что принимает значения для значений переменной. Вычисление, подобное предыдущему, последовательно дает

Отсюда

Положим Тогда полином (24) пишется в форме

В связи с тем, что разности расположены в таблице разностей на нисходящей косой строке, а разности на восходящей косой строке, полином (23) называется интерполяционным полиномом Ньютона по нисходящим разностям, а полином (25) — интерполяционным полиномом Ньютона по восходящим разностям.

Пример. Пример уточнит условия применения обоих интерполяционных полиномов Ньютона.

Рассмотрим таблицу, взятую из п. 7.5.46. Она дает значения для при :

(см. скан)

Естественно, мы будем предполагать, что таблица представляет единственные данные, находящиеся в нашем распоряжении.

Попробуем вычислить заменив функцию параболой третьей степени, проходящей через 4 последовательно расположенные точки. Так как аргумент близок к началу таблицы, то выгодно взять интерполяционный полином Ньютона по нисходящим разностям (23) при , ибо он вводит только Вводимые значения функции равны с преобладающим влиянием Это логично, так как 1,049 находится очень близко от . И было бы очень невыгодно взять полином (25) при Действительно, пришлось бы вводить при преобладающем влиянии которое соответствует аргументу 1,3, находящемуся далеко от 1,049.

Полином Ньютона (23) для пишется в виде

что при дает

Посмотрев более подробные таблицы, находим значение Следовательно, мы получили по формуле (23) превосходное приближение, несмотря на грубость исходной таблицы, в которой погрешность задания чисел может достигать

Если же пользоваться формулой полинома Ньютона по восходящим разностям (25) для а то

При это дает т. е. приближение хуже.

Вычислим теперь Так как аргумент находится в конце таблицы, следует пользоваться как раз формой (25) полинома Ньютона. Она при имеет вид

При получаем Более подробная таблица дает 0,57982. Форма (23) полинома Ньютона, использующая по причинам, изложенным выше, не дала бы хорошего приближения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление