Главная > Математика > Математика для электро- и радиоинженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

10.3.2. Значения аргумента распределены неравномерно. Интерполяционный полином Лагранжа.

Пусть значения аргумента и значения функции Пусть искомый полином степени, принимающий те же значения при тех же значениях аргумента. Разложим на простые дроби отношение обозначив через полином степени

Получим

иначе говоря,

Дадим значение принимает значение и все члены суммы равны нулю, кроме произведения, для которого Отсюда

Искомый полином может быть записан в виде

Это интерполяционная формула Лагранжа. Важно отметить, что она мало удобна для быстрых вычислений, но имеет большое теоретическое значение.

Полином лучше найти следующим образом. Запишем в виде

Имеем

Рассмотрим полином

Затем рассмотрим полином

и Шаг за шагом определяем все коэффициенты В, что и дает искомый полином Практически вычисления располагают в виде следующей таблицы:

(см. скан)

Найдем предел ошибки, совершенной при замене на Рассмотрим функцию

и предположим, что функция дифференцируется раз. Имеем

Функция обращается в нуль при значениях

Повторное применение теоремы Ролля позволяет показать, что производная обратится в нуль при значении заключенном между самым большим и самым малым из предыдущих чисел. Следовательно,

Если верхний предел в интервале, содержащем все точки то

Теперь понятно, что ошибка будет тем меньше, чем ближе х будет к одной из точек и что интерполяция будет точнее, чем экстраполяция.

Пример. Экспериментально была получена таблица, определяющая некую эмпирическую функцию:

Речь идет о действительном сопротивлении антенны как функции отношения ее длины к длине волны

Найдем параболу третьей степени, проходящую через четыре данные точки.

1. Способ Лагранжа состоит в замене букв их значениями в выражении

После подстановки и довольно долгих вычислений находим

2. Второй способ дает таблицу

(см. скан)

Отсюда находим полином

который совпадает с точностью до погрешностей вычисления с уже найденным полиномом.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление