Главная > Математика > Математика для электро- и радиоинженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

10.2.5. Метод Лобачевского — Греффе — Данделена.

Дано алгебраическое уравнение

Коэффициенты вещественны. Обозначим корни уравнения через Излагаемый способ решения опирается на следующие положения:

а) Если уравнение (10) имеет корней модули которых имеют порядок величины, значительно больший, чем модули других корней то уравнение можно разъединить на два уравнения:

корнями которого приближенно будут и

корнями которого приближенно будут

Действительно, пусть для определенности Тогда из представления

находим

Уравнение

имеет коэффициенты, близкие к коэффициентам уравнения

Следовательно, и корни уравнения (13) близки к корням этого последнего уравнения.

Аналогично проводится рассуждение для любого

Уравнение (12) найдем, если произведем замену переменной повторим предыдущее рассуждение. Пример. Уравнение

имеет корни и 1. Уравнение имеет корни 9997 и 5006; уравнение имеет корни 1,0008 и 1,9964.

б) Если два числа таковы, что и если — сколь угодно малое положительное число, то можно всегда найти число настолько большое, что

в) Поставим перед собой задачу построить уравнение, имеющее в качестве корней величины, противоположные квадратам корней уравнения (10), т. е. Для этого достаточно найти произведение и заменить на х. Тогда получим

Закон образования коэффициентов прост. Коэффициент ранга равен квадрату коэффициента ранга уравнения (10), к которому прибавляют удвоенные произведения симметрично расположенных коэффициентов, попеременно сопровождаемые знаками

Метод Лобачевского — Греффе - Данделена заключается в следующем. Способом, описанным в , из уравнения (10) получают уравнение (14). Затем из уравнения (14) таким же способом получают уравнение, имеющее в качестве корней вплоть до уравнения

имеющего корни

Если достаточно велико, то уравнение (15) может быть разъединено на некоторое число частичных уравнений, имеющих в качестве корней, с точностью до знака, корни уравнения (10), возведенные в степень

Действительно, если разбить корни на группы, отнеся к одной группе все корни, имеющие общий модуль, а затем расположить эти группы в порядке убывания модулей, то после возведения в степень модули корней одной, группы становятся пренебрежимо малыми по сравнению с модулями корней предыдущей группы.

Пользуясь методом Лобачевского — Греффе — Данделена, мы можем, встретиться с несколькими различными случаями.

Первый случай. Все корни уравнения (10) простые, а их модули различны. Следовательно, все корни вещественны, так как коэффициенты уравнения (10) вещественны по предположению. Разъединение даст частичные уравнения первого порядка.

Этот случай характеризуется при возрастании правильным возрастанием (или убыванием) коэффициентов возможно лишь начиная с достаточно больших Коэффициенты всегда будут положительны.

Если достаточно велико и если считать, что корни расположены в порядке убывания модулей, то можно написать

Остается определить момент, когда можно считать достаточно большим. Это зависит, очевидно, от точности, которую мы хотим получить при вычислении Если мы располагаем таблицей логарифмов для чисел от 1 до 10 000, то можем получить только 5 значащих цифр. Следовательно, будет достаточно велико, если при вычислении коэффициент оказывается равным, с точностью до первых пяти значащих цифр, квадрату предыдущего коэффициента того же ранга иначе говоря, если прибавление удвоенных произведений не изменяет первых пяти значащих цифр квадрата предыдущего коэффициента. Будем говорить, что при таком значении коэффициент удовлетворяет условиям разъединения. Знак, который нужно поставить перед найденным модулем получается с помощью проб.

Пример. Требуется решить уравнение Последовательность вычислений ясна из нижеследующей таблицы:

(см. скан)

(см. скан)

Находим, что левая часть уравнения имеет попеременно противоположные знаки в точках откуда

Второй случай. Несколько корней имеют один и тот же модуль. Важнейшим является случай, когда имеется несколько пар сопряженных комплексных корней. Он характеризуется колебаниями одного или нескольких коэффициентов при возрастании

Пусть, например, этим коэффициентом будет Сумма удвоенных произведений никогда не будет пренебрежимо мала по сравнению с первыми значащими цифрами как бы ни было велико Положим, что имеется только пара сопряженных комплексных корней. Если достаточно велико, чтобы все остальные коэффициенты, кроме удовлетворяли условиям разъединения, то можно разъединить уравнение на несколько уравнений первого порядка и одно уравнение второго порядка

Оно, с точностью до знака, будет иметь в качестве корней искомые комплексные корни, возведенные в степень Модуль этих комплексных корней находится из соотношения

Вычислив вещественные корни уравнения (10) и обозначив через

два искомых комплексных корня, получим

Отсюда находим а, а следовательно, и

Пример. Требуется решить уравнение Вычисления приведены в следующей таблице:

(см. скан)

Случай, когда имеются две пары сопряженных комплексных корней, характеризуется колебаниями двух не соседних коэффициентов. Когда для других коэффициентов будут получены условия разъединения, оба квадратных уравнения дадут, как и в предыдущем случае, модули комплексных корней.

Пусть вещественные корни. Получим

Отсюда находим

Третий случай. Пары комплексных сопряженных корней не единственный случай, когда два корня имеют одинаковый модуль. Это будет также, если имеется двойной корень или если два корня имеют

противоположные значения, что сводится к двойному корню уравнения, полученного в результате первого преобразования уравнения Модуль этих корней может быть вычислен по формуле (16). Прикидка в уравнении (10) покажет, что будет иметь место: или Коэффициент во время возрастания будет изменяться иначе, чем в предыдущем случае, он не колеблется, а все время остается положительным и стремится стать равным не квадрату коэффициента соответствующего а половине этого квадрата.

Пример. Требуется решить уравнение Вычисления приведены в таблице:

(см. скан)

Условия разъединения выполняются для но не для Удвоенное произведение становится равным что доказывает наличие двойного корня.

Имеем

Прикидка показывает, что

Четвертый случай. В этом довольно редком случае имеется вещественный корень и два сопряженных комплексных корня При возрастании коэффициенты не удовлетворяют условиям разъединения. Так как они расположены последовательно, то это характеризует случай одного вещественного и двух комплексных корней с одинаковым модулем.

Когда все остальные коэффициенты удовлетворяют условиям разъединения, корни возведенные в степень и взятые со знаком минус, будут представлять собой решения уравнения

Отсюда

вещественная часть а и мнимая получаются, как показано выше.

Может быть еще, что Когда коэффициенты, кроме удовлетворяют условиям разъединения, корни возведенные в степень и взятые со знаком минус, будут решениями уравнения

Отсюда Вещественная часть а и мнимая определяются, как в предыдущем случае.

Если исключить случай корней кратности больше 2, то мы рассмотрели здесь все возможные случаи, когда уравнение (10) с вещественными коэффициентами имеет корни с одинаковым модулем. Пример. Требуется решить уравнение

(см. скан)

Как показывает таблица (стр. 686), коэффициенты удовлетворяют условиям разъединения. Следовательно, имеется два вещественных корня. Но три последовательных коэффициента не удовлетворяют этим, условиям. Следовательно, имеются 4 корня с одинаковым модулем, связанные в одном уравнении четвертого порядка.

Имеем

Точные значения корней равны

Пятый случай. Если уравнение (10) имеет два вещественных корня абсолютные значения которых очень близки, то коэффициент стремится к условиям разъединения очень медленно. Если условия разъединения уже получены для других коэффициентов, то можно в этот момент разъединить уравнение на некоторое число уравнений первой степени и одно уравнение второй степени, имеющее в качестве корней взятые со знаком минус степени величин Вычисления при этом аналогичны вычислениям для случая двойного корня, но коэффициент не будет равен половине квадрата предыдущего коэффициента того же ранга.

Пример. Требуется решить уравнение Вычисления приведены в таблице:

(см. скан)

Коэффициент лишь очень медленно стремится к условиям разъединения. Для коэффициента они выполняются уже при

Имеем

Точные значения корней равны 1, 31 и 33,

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление