Главная > Математика > Математика для электро- и радиоинженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

10.1.4. Приближенное решение системы двух уравнений.

Решение системы двух уравнений

может встретиться, в частности, при нахождении комплексных корней уравнения

Действительно, положим Тогда, если отделить вещественную часть от мнимой, уравнение (4) может быть написано в виде

и мы приходим к системе (3).

Может показаться соблазнительным решить систему (3), исключив, например, переменную у и решив полученное таким образом уравнение относительно х. В большинстве случаев это оказывается невыгодным. Напротив, как мы видели в п. 10.1.1, часто бывает проще представить уравнение в виде равенства двух функций так как при этом легче нарисовать соответствующие кривые.

а) Графический способ. Вычерчиваются графики двух уравнений системы (3). Координаты точек пересечения дают пары вещественных значений удовлетворяющих данной системе.

Пример 1. Требуется решить систему

Рис. 10.5.

Рис. 10.6.

Эта задача сводится к тому, чтобы найти точки пересечения кривой третьего порядка и параболы. Грубо нарисовав обе кривые, мы видим, что кроме очевидного корня имеется еще только один корень, с абсциссой, близкой к (рис. 10.5). в,

Более подробный чертеж интересующей нас части кривых в большем масштабе показывает, что этот вещественный корень заключен между

Последний чертеж сделан на основании следующей таблицы:

Представим интервал между в еще большем масштабе. При этом можно заменить кривые отрезками прямых, соединяющих точки (рис. 10.7)

Точка пересечения имеет абсциссу, заключенную между 0,704 и 0,705.

Рис. 10.7.

Рис. 10.8.

Действуем также в интервале 0,704; 0,705. На этот раз отрезки прямой соединяют точки (рис. 10.8)

Можно продолжать построение до бесконечности, но если остановиться на атом этапе вычисления, то пересечение кривых дает в качестве решения системы

(Точные значения равны

Замечание. Умножив второе уравнение на х и вычтя его из первого, можно заменить данную систему на систему

Но вычерчивание по точкам эллипса не проще, чем вычерчивание кривой третьего порядка.

Пример 2. Найти сопряженные комплексные корни уравнения

Положим Получаем два уравнения:

Решение соответствует вещественному корню. В плоскости переменных х, у кривая

является гиперболой. Она изображена пунктиром на рис. 10.9 и пересекает кривую третьего порядка (5) в двух симметричных точках, координаты которых приближенно равны Применение ранее описанного способа быстро привело бы к значениям, которые мы найдем в п. 10.2.5, пользуясь способом Лобачевского-Греффе-Данделена.

Рис. 10.9.

Замечание. Если кривые, представляющие систему (3), пересекаются под очень острым точность может оказаться не слишком хорошей. Такой опасности нет при нахождении комплексных корней, когда коэффициенты уравнения вещественны, так как обе кривые при этом ортогональны.

б) Способ Ньютона. Пусть первое приближение решения системы (3) и пусть точные значения этого решения.

Имеем

Можно написать

Пренебрежем членами второго порядка по Тогда можем найти приближения лучшие, чем

где и определяются системой

Теперь, отправляясь от можно вычислить следующее приближение и т. д.

Пример. Вернемся к примеру 1 и будем исходить из приближения

Имеем

Отсюда получаем систему

а из нее

Если действовать таким же образом, отправляясь от значений то получим

определяются из системы

откуда

и

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление