Главная > Математика > Математика для электро- и радиоинженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

10.1.3. Метод итерации.

Напишем уравнение в виде

Грубое графическое изображение кривых

дает значение абсциссы точки пересечения. Оно будет грубым приближением искомого значения корня. В действительности прямая встретит рассматриваемые кривые в двух разных точках.

Возьмем ту из этих двух точек, для которой наклон касательной имеет меньшую по абсолютному значению величину. Положим, например, что

и возьмем точку Проведем из нее прямую, параллельную оси абсцисс, которая пересечет кривую в точке с координатами Из точки проведём параллель к оси ординат, которая встречается с кривой в точке с координатами Оперируем с точкой так же, как с точкой

Рис. 10.3

Рис. 10.4.

Если наклоны обеих кривых имеют вблизи точки пересечения одинаковый знак, то абсциссы стремятся к корню с одной стороны (рис. 10.3).

Если наклоны кривых имеют противоположные знаки, то абсциссы принимают попеременно значения, то большие, то меньшие корня (рис. 10.4).

Легко заметить, что скорость сходимости тем больше, чем больше отличаются наклоны кривых

Пример. Требуется вычислить вещественный корень уравнения

Построение кривых показывает, что абсцисса точки встречи приближенно равна 3. Берем

Неравенство (2) соблюдено. Имеем последовательно

Поэтому искомый корень равен 3,00986 со всеми верными значащими цифрами.

Замечание. Остановимся, в частности, на применении метода итерации для решения алгебраических уравнений.

Пусть требуется вычислить корень полинома

близкий Положим

Мы должны найти близкий к нулю корень полинома

Если коэффициент не мал по сравнению с другими коэффициентами полинома можно принять

При

и эти величины сильно разнятся. Можно надеяться, что в точке пересечения кривых лежащей вблизи от точки наклоны кривых будут все еще сильно отличаться.

Пример. Вычислить близкий к 2 корень уравнения

Положим

Получаем

Иначе говоря, требуется решить уравнение

Имеем последовательно:

На этой степени приближения (точный корень равен )

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление