Главная > Математика > Математика для электро- и радиоинженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

10.1.2. Метод Ньютона и метод пропорциональных частей

а) Метод Ньютона. Требуется решить уравнение

Рис. 10.1.

Пусть дуга кривой вблизи корня; абсциссы точек (рис. 10.1). Предположим сначала, что эта дуга имеет вогнутость в сторону положительной части оси и что Пусть есть точка встречи касательной, проведенной к кривой в точке с осью х. Тогда представляет приближение к корню, лучшее, чем и расположенное с той же стороны от корня:

Повторим это рассуждение для нового приближения Получим

и далее

Последовательность стремится к искомому корню.

Если бы дуга кривой была обращена вогнутостью к отрицательной части оси у, то следовало бы применить только что описанный способ, проведя касательную к кривой в точке

Таким образом, получаем правило: если корень заключен между двумя числами и вторая производная сохраняет в этом промежутке знак,

то за первое приближение следует принять то из чисел или для которого знак совпадает со знаком иначе говоря, нужно, чтобы в выбранной точке было

Замечание 1. Если меняет знак в промежутке то может случиться, что вторые приближения окажутся хуже, чем первые (рис. 10.2). Поэтому полезно перед началом вычисления приближенно вычертить кривую Однако иногда применяют метод Ньютона и тогда, когда меняет знак, или даже вообще без всякого исследования. В таком случае получаемая последовательность приближений может сходиться к корню или расходиться в зависимости от обстоятельств.

Рис. 10.2.

Замечание 2. Можно легко получить формулу (1), применив формулу Тейлора. Если точный корень, то

Считая малой величиной и пренебрегая ее степенями выше первой, находим для приближенную формулу. Это и есть формула Ньютона.

б) Способ пропорциональных частей. Удобно сочетать только что изложенный способ Ньютона со способом пропорциональных частей. Имея отрезок в котором меняет знак, обозначим через абсциссу точки пересечения прямой с осью х (рис. 10.1):

а через абсциссу, полученную способом Ньютона. Найдя отрезок поступаем с ним так же, как с что дает нам Продолжая этот процесс, получаем две последовательности:

которые все ближе и ближе охватывают с двух сторон искомый корень (если только не меняет знака в промежутке

Замечание 1. Для того чтобы уже первые приближения по способу пропорциональных частей были достаточно близки к искомому корню, необходимо, чтобы не обращалась в интервале в нуль.

Замечание 2. Если иметь возможность все время точно вычислять то приведенные выше способы позволяют находить сколь угодно далекие приближения и, следовательно, получать корень с любой точностью. Но если находится из таблиц, которые неизбежно имеют лишь ограниченную точность, то и корень можно получить также только с ограниченной точностью.

Пусть совершенная при вычислении ошибка. снижает точность вычисления х на такую величину что

Пример. Требуется решить уравнение Очень упрощенный чертеж показывает, что искомый корень заключен между и 1 и вогнутость такова, что можно взять

Имеем последовательности

Если находить из пятизначных таблиц десятичных логарифмов с погрешностью, не превышающей то погрешность в определении будет того же порядка, атак как при то Следовательно, нет смысла строить дальнейшие приближения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление