Главная > Математика > Математика для электро- и радиоинженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

9.2.18. Вычисление корреляционной функции на выходе линейного усилителя под действием дробового эффекта постоянного тока.

Мы показали, что все свойства стационарной случайной функции Лапласа — Гаусса содержатся в корреляционной функции. Остается вычислить корреляционную функцию для случая флуктуаций, вызванных дробовым эффектом в линейном усилителе. Для этого мы будем предполагать, что ось времен разделена на очень малые последовательно расположенные равные отрезки длиной в Пусть число импульсов расположенных в промежутке Так как промежуток очень мал по отношению к постоянным времени усилителя, то реакция на совокупность электронных ударов, происшедших за время между (их число равно ) будет равна Уравнение

мы заменяем уравнением

Если нас интересует отклонение то можно заменить на или, что то же самое, исключить нефлуктуирующую постоянную составляющую входного тока. Тогда

Вычислим

Мы знаем, что переменные взаимно независимы, если и -разъединенные промежутки. Отсюда следует, что

Поэтому

Центральный момент второго порядка вычисляется, исходя из закона Пуассона, которому подчиняются (см. соотношение (106)).

Находим

где средняя плотность, т. е. среднее число электронов в секунду:

Поэтому

Устремляя к нулю, получаем в конечном счете

Это уравнение следует сопоставить с уравнением (99). Явление флуктуаций в чистом виде, т. е. до того, как ее исказила инерция усилителя, представляет собой явление с микроскопической корреляцией. Говоря точнее, при сколь угодно малом корреляция между двумя переменными соответствующими двум последовательным промежуткам времени равна нулю, как в выражении (137). Но мы знаем, согласно выражению (99), что принимает вид произведения постоянного числа, зависящего от начальной флуктуации, на функцию от зависящую от фильтра. Это мы и получаем на основании соотношения (139).

Вычислим теперь спектральную плотность. Для этого достаточно применить теорему Парсеваля, которая заключается в следующем. Пусть абсолютно интегрируемые функции, ограниченные в промежутке от до их коэффициенты преобразования Фурье:

Теорема Парсеваля выражается соотношением

где звездочкой помечена сопряженная комплексная величина.

Если за принять вещественные функции то вводя частотную характеристику получим

Отсюда

Тогда соотношение (139) запишется в виде

Сравним теперь результат с соотношением (93), дающим корреляционную функцию на выходе линейного усилителя. Мы видим, что значение представляет собой спектральную плотность, соответствующую сигналу, иначе говоря, дробовому эффекту тока.

Чтобы рассчитать действие дробового эффекта на усилитель, достаточно приписать этому явлению равномерный спектр со спектральной плотностью, равной Это согласуется с тем, что здесь речь идет о явлении с микроскопической корреляцией. Понятно, что говорить о равномерном спектре бессмысленно, так как в этом случае при интегрировании по всем частотам получим бесконечность. В действительности, наблюдать за дробовым эффектом можно только с помощью прибора; при этом главное, чтобы существовал интеграл что зависит только от величины иными словами от прибора наблюдения.

Примечание. В заключение следует отметить, что все сказанное о дробовом эффекте применимо также к эффекту Джонсона (эффект мерцания), т. е. к флуктуациям электродвижущей силы шумов в сопротивлении. Действительно, здесь также речь идет о явлении микроскопической корреляции, которое с помощью некоторой стационарной линейной системы приводит к появлению стационарной случайной функции Лапласа — Гаусса.

ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ IX

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление