Главная > Математика > Математика для электро- и радиоинженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

9.2.14. Недостаточность рассмотрения моментов второго порядка и корреляционной функции.

Все, о чем говорилось в пп. ограничивалось рассмотрением моментов второго порядка, иначе говоря, энергетических свойств стационарных случайных функций. Мы видели, что это рассмотрение можно вести двумя параллельными путями, пользуясь либо корреляционной функцией, либо спектральной плотностью. Обе эти функции представлялись нам до пор весьма сильными инструментами для изучения энергетических свойств во всех; звеньях стационарной линейной системы. Но в большинстве случаев действенность их исчезает, как только потребуется вычислить что-нибудь помимо моментов второго порядка или рассмотреть нелинейные системы. Приведем пример. Рассмотрим установку, изображенную на рис. 9.19. Она может служить для усиления фотоэлектрических токов. В ней имеется линейный усилитель квадратичный выпрямитель и гальванометр (3). Гальванометр представляет собой линейную систему. Чтобы вычислить дисперсию флуктуаций "зайчика" гальванометра, требуется знать корреляционную функцию выпрямленного

Рис. 9.19.

напряжения. Если предположить, что выпрямитель квадратичен, то нужно знать момент По отношению к функции это момент четвертого порядка. Если бы характеристика выпрямителя была потребовалось бы для функций знать момент порядка Изложенные ранее формулы не позволяют вычислять моменты порядка выше второго.

До сих пор корреляционная функция служила инструментом для вычислений, но в строгом смысле слова не оправдывала своего названия, предполагающего непрерывность явлений во времени. Оценивая качественно, можно сказать, что часто, если х достаточно велико, то становятся практически независимыми, так что

Поэтому часто стремление х к бесконечности влечет за собой одновременно и стремление к нулю и стремление к независимости. Мы можем также сказать, что если спектр богат низкими частотами, то он соответствует режиму медленных флуктуаций, т. е. представляет собой режим с большой статистической памятью.

Однако все эти замечания весьма нечетки, и легко привести большое число примеров, которые позволяют выявить их неубедительность. В частности, не следует забывать, что две случайные величины могут быть очень тесно связаны и в то же время иметь нулевую корреляцию. Рассмотрим в качестве примера стационарную случайную функцию

где случайная величина, принимающая с одинаковой вероятностью любое значение от до . При этом

где обращается в нуль, в частности, при Было бы совершенно неправильно заключать из этого, что и взаимно независимы.

Действительно,

Между существует соотношение, не зависящее от :

Знание величины х определяет абсолютную величину Следовательно, между этими случайными величинами имеется строгая (неслучайная) связь, и, однако, они не коррелируют. Не нужно упускать из виду, что сама по себе корреляционная функция имеет только энергетический смысл (т. е. определяет только моменты второго порядка). Две случайные функции не коррелируют между собой, если у них нет энергии взаимодействия. Но это не означает, что они взаимно независимы, как видно из предыдущего примера. Как мы увидим ниже, в некоторых случаях, которые с точки зрения математики следует рассматривать как частные случаи, но которые тем не менее включают в себя многочисленные задачи о флуктуациях, поставленные физикой, корреляционная функция полностью характеризует все статистические свойства и тогда вполне оправдывает свое название.

Это происходит в тех случаях, когда представляет собой стационарную случайную функцию Лапласа — Гаусса. Мы поясним свойства этих функций на конкретном примере флуктуаций, возникающих на выходе линейного усилителя под действием дробового эффекта постоянного тока, приложенного на входе.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление