Главная > Математика > Математика для электро- и радиоинженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

9.2.12. Энергетический спектр.

Рассмотрим вначале, каковы исходные положения при физическом подходе к вопросу об энергетических спектрах. Наиболее наглядны в данном случае оптические явления, при которых частота колебаний непосредственно доступна восприятию наших органов чувств, поскольку она отождествляется с цветом. Чтобы получить понятие о спектральном распределении энергии, достаточно представить себе прохождение светового излучения через цветной экран или, лучше, разложение светового луча с помощью призмы. Этот опыт непосредственно приводит нас к понятию спектрального распределения средней энергии. Можно выделить полосу спектра, заключенную, например, между частотами и измерить термопарой мощность соответствующую этому диапазону частот. Можно сделать то же самое с другой полосой частот не имеющей общей части с (одна, например, в красной части спектра, другая — в синей); ей соответствует мощность Если наложить друг на друга излучения, относящиеся к обеим полосам частот, и снова измерить среднюю мощность, то получим мощность Таким образом, средние мощности, относящиеся к разным частотам, складываются, или, иначе, средняя энергия взаимодействия между отдельными частотами отсутствует.

Эти чисто экспериментальные заключения приводят к тому, что оказывается возможным приписать некоторую среднюю энергию каждому интервалу частот. Естественно ввести функцию которую назовем функцией спектрального распределения энергии, со следующими свойствами:

а) равна средней энергии (или средней мощности), соответствующей интервалу частот

б) и можно положить, что при v < 0;

в) может только возрастать вместе с так как любой полосе частот соответствует энергия либо положительная, либо нулевая;

Функция вводилась различными способами. В чисто математических исследованиях, таких, как работы Бёхнера и Хинчина, строго доказано существование функции имеющей перечисленные свойства, но доказательства эти абстрактны и не имеют наглядного физического смысла. С другой стороны, имеются работы, в которых существование функции обосновано путем соображений, очень наглядных с точки зрения физика, но недостаточно строгих математически. Авторы этих работ предполагают, что случайная функция разложима в ряд Фурье, или по крайней мере представляют функцию в виде ряда Фурье на очень большом интервале

Такое введение ряда Фурье в явление, которое, вообще говоря, не является периодическим, довольно произвольно и приводит к рассуждениям, спорным с математической точки зрения. Способ, который мы предлагаем, представляется нам способным примирить стремление к математической строгости с желанием сохранить физический смысл изучаемого явления.

Сейчас мы покажем, каким образом можно точно определить функцию по корреляционной функции.

Переведем для этого на язык математики представления, очевидные с точки зрения физики. Что бы мы сделали прежде всего, если бы захотели произвести в лаборатории энергетический анализ тока флуктуации Мы бы его "профильтровали" через избирательный усилитель, пропускающий только заранее выбранную полосу частот, энергетическое содержание которой нам нужно измерить. Усилитель преобразовал бы и энергия на выходе фильтра была бы равна Основное свойство фильтров с точки зрения математики состоит в том, что они являются стационарными линейными системами, характер работы которых остается неизменным с течением времени.

Введем ответ фильтра на единичный импульс, приходящий в момент Известно, что функцию на выходе можно получить по сигналу с помощью уравнения

Напомним, что собой представляет преобразование , с помощью которого линейный фильтр переводит случайную функцию в случайную функцию Конечно, в реальном фильтре, т. е. в фильтре, который можно экспериментально осуществить в лаборатории, функция не произвольна. В частности, функция должна быть тождественно равна нулю при так как следствие не может опережать причину Кроме того, свойства электрических цепей требуют, чтобы функция при была равна линейной комбинации экспонент. Очевидно, что при этом преобразование представляет собой линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Здесь мы обобщим понятие фильтра: пренебрежем перечисленными условиями, налагаемыми на и постараемся выяснить математический смысл преобразования (79). В частности, не будем требовать, чтобы функция была равна нулю при Мы лишь наложим на нее условия, имеющие целью обеспечить существование несобственного интеграла с бесконечными пределами, входящего в выражение (79),

а именно предположим, что функция абсолютно интегрируема в бесконечных пределах. При этом интеграл, входящий в выражение (79), сходится с вероятностью, равной единице.

Так же, как в теории линейных усилителей, - удобно исцользовать преобразование Фурье для функции

где комплексный сомножитель, называемый частотной характеристикой стационарной линейной системы. Через мы обозначим его модуль, а через его аргумент. Предположение об абсолютной интегрируемости функции требует, чтобы функция была гладкой, в частности, нельзя пользоваться кривой усиления, изображенной на рис. 9.16, а, но можно пользоваться сколь угодно близкими к ней кривыми усиления типа кривой, изображенной на рис. 9.16, б.

Рис. 9.16.

Функция в случае фильтра, представленного функцией на рис. 9.16, б, тождественно равна нулю вне интервала где сколь угодно мало.

Впрочем, более широкое толкование, на подробностях которого мы не будем останавливаться, позволяет рассматривать математические фильтры гораздо более общего типа, в частности с функцией представленной на рис. 9.16, а.

Физический смысл функции ясно виден на примере преобразования синусоидальной функции

Можно заметить, что при синусоидальном сигнале его эффективная величина при прохождении через фильтр умножается на Для частоты у передаваемая энергия равна приходящей, умноженной на коэффициент энергетической передачи, а именно на Это замечание проливает свет на весь механизм избирательности: меняя можно отдавать предпочтение одним частотам и заглушать другие.

После сделанных замечаний мы сможем ввести функцию спектрального распределения энергии Для простоты будем предполагать, что корреляционная функция имеет в качестве коэффициента преобразования Фурье непрерывную функцию от абсолютно интегрируемую.

Так как функция четная, то преобразование Фурье приведется к виду

Вычислим среднюю энергию на выходе фильтра. Возводя в квадрат обе части выражения (79) и определяя их средние значения, получим

но

откуда

Так как функции абсолютно интегрируемы, то можно переменить порядок интегрирования, и тогда мы получим следующую окончательную формулу:

Отсюда, вспоминая определение для функции формулу (80) — и учитывая, что квадрат ее модуля равен произведению функции на сопряженную с ней комплексную величину, стоящую в первых квадратных скобках, получим

Соотношение (86) является фундаментальным, так как показывает, что коэффициент обязательно положителен или равен нулю. Действительно,

если функция отрицательна вблизи какой-то частоты то, выбрав для фильтр, пропускающий только частоты, соседние с мы сделали бы правую часть выражения (86) отрицательной, что невозможно, поскольку речь идет о дисперсии. Следовательно, коэффициент положителен или равен нулю. Поэтому можно толковать величину как элементарную энергию. Если учесть, что коэффициент передачи энергии равен и вспомнить о понятиях, изложенных в начале п. 9.2.12, то приходим к следующему истолкованию соотношения (86), законность которого вытекает из приведенных выше рассуждений. Для случайной функции полосе частот соответствует средняя энергия После преобразования эта энергия умножается на коэффициент передачи при частоте и становится равной полная переданная энергия получится, если произвести суммирование по всем элементарным полосам частот. Это и есть интерпретация основного соотношения (86), в котором выражено содержание весьма важной теоремы Бохнера и Хинчина.

Итак, если корреляционная функция имеет непрерывный и абсолютно интегрируемый коэффициент преобразования Фурье то функция обязательно положительна или равна нулю. Функцию можно толковать как спектральную плотность энергии, а функция спектрального распределения энергии есть интеграл

Очевидно, что функция может только возрастать; при снова получим полную энергию. Действительно,

На основании принятых гипотез о корреляционной функции удалось решить задачу определения функции спектрального распределения энергии. Эти гипотезы соответствуют тому, что в оптике называется непрерывным спектром. Случаем непрерывного спектра мы и ограничимся. Полученные в этом пункте результаты могут быть распространены на самый общий случай, и всегда можно поставить в соответствие корреляционной функции некоторый спектр частот; но этот спектр может быть более или менее сложным и, в частности, может содержать линии, т. е. такие частоты, которым соответствует конечная энергия.

Напомним основные соотношения, которые для случая непрерывного спектра связывают между собой величины

откуда, обращая формулы Фурье, получаем

Соответствие между и — это соответствие преобразования Фурье. Свойства его являются классическими. Свойства моментов второго порядка определяются в одинаковой степени как корреляционной функцией так и спектральной плотностью

Примечания. 1. Предположим, что интеграл сходится.

Исходим из соотношения

Здесь можно дважды произвести дифференцирование под знаком интеграла. Это позволяет вывести два следствия:

а) существует при всех в частности, при Существует, следовательно, производная в среднем квадратическом от функции о которой известно, что ее корреляционная функция равна — Имеем

откуда следует, что спектральная плотность для производной равна При каждом значении вычисления производных выполняются так, как если бы речь шла о чистой синусоиде. Известно, что при дифференцировании функции появляется сомножитель

2. Из предыдущих расчетов мы узнали величину средней энергии на выходе фильтра. Аналогичные расчеты могут нам дать корреляционную функцию на выходе. Укажем на главные промежуточные этапы этого важного вычисления:

Соотношения (92) и (93) позволяют вычислить корреляционную функцию преобразования либо как функцию от и либо как функцию от Сравнив соотношения (93) и (89), видим, что спектральная плотность на выходе равна произведению Этот вывод можно сразу объяснить, заметив, что коэффициент передачи энергии при

частоте равен и что это энергия, соответствующая для функции полосе частот . С точки зрения энергетики разные частоты взаимно независимы в линейных системах, представленных преобразованием Получаем простое и важное правило: при преобразовании стационарной случайной функции стационарной линейной системой ее спектральная плотность умножается на квадрат модуля частотной характеристики,

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление