Главная > Математика > Математика для электро- и радиоинженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

9.2.11. Непрерывность. Дифференцируемость.

Выясним, при каких условиях функция будет непрерывна по в среднем квадратическом. Непрерывность в среднем квадратическом существует, если сходится к в среднем квадратическом при стремящемся к нулю, иными словами, если справедливо равенство

Необходимым и достаточным условием непрерывности случайной функции в среднем квадратическом, является непрерывность корреляционной функции начале координат. В дальнейшем будем предполагать, что это условие выполняется. При этом можно показать, что корреляционная функция будет равномерно непрерывна при

Совершенно очевидно, что локальные свойства связаны с поведением при малых значениях с. Мы только что видели, что непрерывность в среднем квадратическом зависит от непрерывности в начале координат. Исходя из этого, можно теперь сформулировать следующую

теорему: Для того чтобы стационарная случайная функция второго порядка имела производную в среднем квадратическом, необходимо и достаточно, чтобы при существовали все производные корреляционной функции до порядка включительно.

Если обратиться к рис. 9.14, то ясно, что корреляционная функция, изображенная сплошной линией, соответствует случайной функции, не имеющей производной в среднем квадратическом. Действительно, производная не определена. Напротив, корреляционная функция, которая вблизи точки идет по пунктирной кривой, соответствует случайной функции, имеющей производную в среднем квадратическом. Предположим, например, что производные существуют при (тогда можно показать, что они существуют при любом Из этого следует, что случайные производные существуют. Для простоты записи обозначим их через Напоминаем, что они определяются соотношениями

Прежде чем идти дальше, необходимо указать на одно свойство сходимости в среднем квадратическом.

Если две случайные величины и зависящие от параметра а, сходятся в среднем квадратическом соответственно к при а, стремящемся к то стремится к

Если в частном случае X не изменяется вместе с а, то

Применим этот результат к случайным величинам

Имеем

Устремим к нулю: не изменяется, а величина стремится в среднем квадратическом к Следовательно, левая часть равенства (75) стремится к взяв предел правой части, получаем

Таким же образом можно найти

Мы свели в табл. I выражения типа (77). Они выражают то, что можно назвать "смешанными корреляционными связями" между и ее производными. В верхней строке и в левом столбце этой таблицы помещены величины, служащие сомножителями:

Из табл. I можно определить значения математического ожидания произведения двух величин, помещенных в заголовках соответствующих строки и

Таблица 1 (см. скан)

столбца. Если приравнять то, принимая во внимание, что производные нечетного порядка равны нулю при получим результаты, приведенные в табл. II.

Полезно напомнить, что значения, принимаемые в определенный момент случайной функцией и ее производной в среднем квадратическом, не коррелируют:

Мы приводим здесь снова замечание, которое было уже сделано, когда речь шла о различных видах сходимости последовательностей случайных величин. Производные, которые мы сейчас рассматривали, — это производные

Таблица II (см. скан)


в среднем квадратическом. Но если случайные функции ведут себя достаточно правильно, то эти производные являются в то же время и почти достоверными производными. Поэтому с вероятностью, равной единице, их можно отождествить с производными в том смысле, как они понимаются в анализе, которые экспериментатор может вычислить при каждом отдельном испытании.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление