Главная > Математика > Математика для электро- и радиоинженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Стационарные случайные функции. Изучение постоянных режимов

9.2.8. Введение.

Рассмотрим особый класс случайных функций — стационарные случайные функции. Случайная функция называется стационарной, если все ее статистические свойства не изменяются при любом выборе начала отсчета времени. Точнее, будем называть в этом случае стационарной случайной функцией в строгом смысле, в отличие от более широкого определения характера стационарности, которое будет дано ниже. Стационарные случайные функции нужны для изучения флуктуаций при

постоянных режимах. С точки зрения математики, стационарный характер функции влечет за собой следующие ее особенности.

1. Функция распределения не зависит от функция распределения зависит только от разности . В общем случае по отношению ко всем переменным имеет место тождественное равенство:

2. Такие же особенности встречаются при изучении моментов. Момент первого порядка т. е. математическое ожидание функции, представляет собой постоянную не зависящую от . В дальнейшем будем предполагать, что очевидно, что это предположение не нарушает общности. Момент второго порядка математическое ожидаиие произведения есть функция только от разности Эта функция будет играть важную роль, в дальнейшем. Мы назовем ее корреляционной функцией стационарной случайной функции

По поводу определения понятия математического ожидания следует для случая стационарных случайных функций сделать одно существенное замечание. Для этой цели рассмотрим математическое ожидание Будем считать для простоты, что оно тождественно равно нулю. Предположим, что представляет собой флуктуирующее электрическое напряжение, и поставим вопрос, каким образом экспериментатор может определить его математическое ожидание. По определению, есть математическое ожидание случайной величины Его экспериментальное определение сводится к наблюдению в момент большого числа макроскопически тождественных приборов, которые дадут показания и к нахождению среднего значения этих показаний. На практике такой способ очень сложен и неудобен, так как он требует одновременно большого числа приборов.

Если заменить такое одновременное наблюдение большого числа приборов наблюдением в течение длительного времени напряжения записанного одним прибором, то это приведет к замене определения математического ожидания в момент средним значением по времени, взятым за большой промежуток времени для одного определенного испытания. Это временное среднее значение назовем

При довольно общих условиях, которые сводятся к требованию, чтобы корреляционная функция достаточно быстро стремилась к нулю при и которые, в частности, выполняются, если существует интеграл что имеет место в большинстве приложений, можно показать, что случайная величина сходится в среднем квадратическом и почти достоверно к если

Аналогичные результаты можно получить и для других моментов, например для Поэтому в дальнейшем мы не будем проводить различия между математическим ожиданием и пределом временного среднего

значения при -оо. В частности, моменты первого и второго порядков можно будет определять с помощью соотношений

и

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление