Главная > Математика > Математика для электро- и радиоинженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

9.2.7. Почти достоверная сходимость.

Те типы сходимости, о которых шла речь выше, могут иметь место и без наличия сходимости в том смысле, как она понимается в анализе. Попробуем, однако, стать на точку зрения физика, изучающего электрические флуктуации определённой цепи. Допустим, что он регистрирует некоторое напряжение флуктуаций и наблюдает за ним достаточно долго. В конечном счете он получит единственную кривую, зарегистрированную прибором, за которым велось наблюдение. Эта кривая соответствует результату одного испытания. Сходимость, интересующая исследователя, будет, прежде всего, сходимостью в том смысле, как ее понимают в анализе, установленной по результатам этого испытания. Если потребуется произвести упрощение, заменив исследуемую величину ее пределом, то необходимо, чтобы этот предел имел определенный смысл для полученной исследователем кривой, а не для совокупности возможных кривых, которых он никогда не видел. Это соображение и приводит к понятию почти достоверной сходимости.

Вернемся к случайной функции и случайной величине определенным по одной и той же категории испытаний. По результатам одного вполне определенного испытания может иметь или не иметь места сходимость в том смысле, как она понимается в анализе. Следовательно, такая сходимость — случайное событие, которое имеет или не имеет места для каждого испытания. Можно сказать, что существует некоторая вероятность такой сходимости.

Примем следующее определение: функция сходится почти достоверно к при стремящемся к если вероятность сходимости равна единице. При этом условии, если пренебречь совокупностью реализаций, имеющих общую нулевую вероятность, можно считать, что при каждом испытании является пределом в том смысле, как это понимается в анализе. Однако быстрота сходимости может зависеть от рассматриваемого испытания и, следовательно, сохраняет случайный характер. Кроме того, можно показать, что почти достоверная сходимость влечет за собой сходимость по вероятности.

После рассмотренных уточнений понятия сходимости можно обобщить понятия анализа, основанные на понятии предела, в частности понятия

производных и интегралов. Рассмотрим, например, производную. Мы не будем заниматься сходимостью в смысле Бернулли, о которой уже известно, что она очень неопределенна. С каждым из трех других видов сходимости связано соответствующее определение производной:

1. Производная по вероятности. Случайная функция имеет в качестве производной по вероятности в точке некоторую случайную величину если случайная величина сходится по вероятности к при стремящемся к

2. Производная в среднем квадратическом. Случайная функция имеет в качестве производной в среднем квадратическом в точке случайную величину если

3. Почти достоверная производная. Случайная величина представляет собой почти достоверную производную случайной функции при если с вероятностью, равной единице, справедливо равенство

причем предел здесь имеется в виду в том смысле, как это понимается в анализе.

Аналогично, рассмотрение сходимости к при позволяет определить непрерывность по вероятности, непрерывность в среднем квадратическом и почти достоверную непрерывность в точке

В дальнейшем мы будем еще много раз возвращаться к понятию сходимости одной случайной величины к другой. В частности, мы будем иметь дело со случайной непрерывностью или со случайной производной. Однако во многих приложениях теории вероятностей часто имеют место одновременно все виды сходимости. Приводимые ниже теоремы относятся, строго говоря, только к сходимости в среднем квадратическом, однако при достаточно общих условиях, которые мы здесь не будем уточнять, но которые практически выполняются в большинстве приложений, они будут устанавливать и почти достоверную сходимость. Поэтому, когда речь пойдет, например, о производной случайной функции, это, строго говоря, будет означать производную в среднем квадратическом, но практически это можно понимать также как почти достоверную производную и, следовательно, производную случайной функции почти достоверно можно отождествить с производной, которую можно вычислить по результатам "одного" определенного испытания.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление