Главная > Математика > Математика для электро- и радиоинженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1.3.25. Применение теоремы о вычетах к суммированию некоторых рядов.

Рассмотрим ряд

Положим, что функция голоморфна на всей плоскости z за исключением нескольких полюсов вычеты относительно которых равны Контур заключает в себе все полюса и точкз вещественной оси.

Числа разумеется, не целые, так как иначе ряд не имел бы смысла.

Рис. 1.35.

Рассмотрим функцию которая внутри контура имеет в качестве полюсов полюса с вычетами и точки с вычетами Имеем

Если контур при бесконечно возрастающем отодвигается в бесконечность, причем криволинейный интеграл функции по стремится к нулю, то можно вычислить сумму рассматриваемого ряда. Эти условия соблюдаются, если, например, в качестве контура использовать квадрат, представленный на рис. 1.35, и считать, что при бесконечном возрастании произведение равномерно стремится к нулю.

Выберем достаточно большим, чтобы ограничен на пусть его верхняя граница. Тогда справедлива оценка

Следовательно, контур отвечает поставленным условиям и

Пример 1. Вычислить Функция стремится к нулю, когда бесконечно возрастает. Функция не имеет полюсов при значениях z, равных целому числу, и голоморфна на всей плоскости, за исключением Следовательно,

Значит,

Замечание. Если вместо использовать то при тех же условиях можно суммировать ряды вида

Пример 2.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление