Главная > Математика > Математика для электро- и радиоинженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

9.1.11. Характеристическая функция биномиального закона.

Рассмотрим случайную величину х, которая принимает значение 1 в случае осуществления события А и значение в противоположном случае. Биномиальный закон распределения характеризует распределение массы, равной единице, при котором масса находится в точке 0, а масса в точке 1. Следовательно,

Плотность вероятности равна нулю во всех точках, кроме точек где она принимает соответственно значения

Характеристическая функция в случае одного испытания будет, следовательно, иметь вид

В случае испытаний характеристическая функция равна

Раскроем скобки в правой части:

Переменная в случае испытаний может принимать возможных значений

вероятности которых равны

Рис. 9.5.

Приравнивая друг другу оба выражения для математического ожидания функции будем иметь

Сравнивая выражения (24) и (25) для найдем

Таким образом, мы снова получили биномиальный закон распределения. Пример. Рассмотрим событие, вероятность осуществления которого Вычислим вероятности того, что событие осуществится раз при 30 повторных испытаниях.

Биномиальный закон позволяет составить такую таблицу:

Если точках с абсциссами провести ординаты, длины которых пропорциональны , то получим схему, представленную на рис. 9.5. Когда число становится очень большим, схема деформируется: она сдвигается вправо и становится все более пологой. Действительно, сумма ординат остается все время равной единице, так как эти ординаты представляют собой сумму членов бинома

Целесообразно рассмотреть такую схему в случае, когда за начало отсчета на оси абсцисс принимается точка, соответствующая максимуму

ординаты, т. е. значению при котором достигается наибольшая величина Известно, что это значение тем ближе к пр, чем больше Так как нас интересуют главным образом большие значения то производим замену переменной:

Новая переменная х представляет собрй отклонение

При этом биномиальный закон распределения принимает вид

Вычисление по формуле (26) при больших х довольно неудобно. Кроме того, вероятность дана здесь как функция трех параметров: Покажем, как можно получить более простую формулу, приближенно представляющую биномиальный закон распределения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление