Главная > Математика > Математика для электро- и радиоинженеров
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Основные законы распределения случайных величин

9.1.10. Биномиальный закон распределения.

Пусть некоторое событие А может осуществиться в ходе испытаний. Если А не осуществится, то осуществится противоположное событие В. Пусть вероятность осуществления события А. Очевидно, что вероятность осуществления противоположного события будет Если проделать последовательных независимых опытов, то вероятность того, что событие А осуществится в точности раз, событие В, следовательно, раз, будет, если не учитывается порядок событий,

В связи с тем, что вероятности по форме представляют собой члены разложения бинома распределение вероятностей вида (21) называется биномиальным законом распределения. Числа определяются условиями эксперимента, а число опытов устанавливается заранее. Найдем при этих условиях значение при котором вероятность оказывается наибольшей.

Сравнивая значения имеем

Следовательно, возрастает вместе с до тех пор, пока значение меньше или равно Если целое число, то наибольшее значение вероятности достигается при двух значениях

Если не целое число, то наибольшая вероятность достигается при одном значении которое равно ближайшему целому числу, большему чем или, что то же самое, целой части числа Так как в дальнейшем мы будем предполагать, что число опытов велико, то можно без заметной ошибки сказать, что наиболее вероятное число осуществлений события А равно пр (оно отличается от точного значения меньше, чем на единицу). Если через — обозначить частоту осуществления события то

можно сказать, что наиболее вероятное значение частоты будет приближенно равно вероятности

Найдем вероятность того, что событие А осуществится в опытах по крайней мере раз. Эта вероятность будет равна сумме

т. е. сумме первых членов разложения бинома

Вычислим математическое ожидание и дисперсию переменной биномиального закона. Для этого будем исходить из тождества

Продифференцируем обе части тождества по у. Тогда

Полагая в обеих частях последнего равенства, получим

Продифференцируем еще раз обе части тождества и в полученном выражении снова положим При этом будем иметь

Согласно формуле (15), дисперсия равна

или

На основании формул (22) и (23) имеем

или

откуда

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление